南京航空航天大学《高等数学》122可分离变量的微分方程.pdf

问题的提出问题的提出 型型 xPexf m x 型型 sin cos xxPxxPexf nl x 二阶线性微分方程应用举例二阶线性微分方程应用举例 一 问题的提出一 问题的提出 1 为常数一般形式为常数一般形式qpxfqypyy 2 0 qypyy对应的齐次方程 对应的齐次方程 2211 2 9 ycycY 可设的通解我们已会求由可设的通解我们已会求由 1 8 的通解通解的结构定理 方程由的通解通解的结构定理 方程由 的任一特解 是的任一特解 是 1 y y的一个特解问题 求方程的一个特解问题 求方程 1 yYy 1 是常数是常数 x m exPxf 的两种形式讨论说明 只就自由项的两种形式讨论说明 只就自由项 xf 次多项式次多项式m axaxaxaxP mm mm m 1 1 10 sin cos 2 为实常数为实常数 xxPxxPexf nl x 0 其中有一个可为 次多项式次与的是 其中有一个可为 次多项式次与的是nlxxPxP nl y待定系数法来求方法 待定系数法来求方法 法不用积分而用代数的方 法不用积分而用代数的方 xxxfPPi nl sincos 1 0 xPxfi m ax m exPxfaiii 实数 实数 i m exPxfiiv xxPxfPii nl sin 0 xxPxfPiii ln cos 0 0 2 的特形形式的特形形式 x m exfxPii 1 1 的特形形式的特形形式 yxPeqypyy m x 的一个特解求的一个特解求 AexQy x 型二 型二 xPexf m x 设设 的多项式是其中 的多项式是其中 xxQ 系数应怎样确定 次数应是几呢那么系数应怎样确定 次数应是几呢那么 xQ 3 2 2 xPxQqpxQpxQ m 0 2 1 2 qp 的特征根不是若的特征根不是若 xQxQ m 210 m mm xbxbxbbxQ 其中其中 10 待定待定 m bbb BxQxQey x AexQy x 2 2 CxQxQxQey x 1 得约去代入方程将得约去代入方程将 x eCA 令令 x m exQy 0 2 2 2 qp 即的特征单根是方程若即的特征单根是方程若 2 3 02 xPxQpxQ p m 方程而方程而 xxQxQ m 令令 x m exxQy 02 0 2 3 2 pqp 必有的重根是方程若必有的重根是方程若 3 xPxQ m 方程 方程 2 xQxxQ m 令令 x m exQxy 2 同次的多项式与系数待定同次的多项式与系数待定 xPxQ mm 具有如下形式的解 方程综上所述 具有如下形式的解 方程综上所述 x m exPqpyy 是特征重根 是特征单根 不是特征根 是特征重根 是特征单根 不是特征根 2 1 0 k 其中其中 x m k exQxy 的步骤求解的步骤求解 x m exPqpyy x m k exQxy 3 1 0 2 2 2 xQmib xPxQqpxQpxQ xQxxQ mi m m k 得求出比较同次幂的系数 代入 设 得求出比较同次幂的系数 代入 设 征根相对应的齐次方程的特求与征根相对应的齐次方程的特求与 1 1 代入所给方程得 令 代入所给方程得 令 2 2 2 21 2 210 by xbby xbxbby 1 2 2 1 yxyy的一个特解求 的一个特解求 xy110 021 bbb 1 0 2 xxPexPxf m x m 型是型是 不是特征根而 特征根 特征方程 不是特征根而 特征根 特征方程 0 0 01 2 ir r 12 22 2102 xxbxbbb 例例1 解解 2 xxPexPxf m x m 是是 的通解求的通解求 x xeyyy 2 2 3 1 2 1 xxQ x e x xy 2 1 2 1 2 1 12 02 0 1 1 01 b b b bb 比较系数比较系数 3 2 2 1 2 10 22 10 代入 设 代入 设 bQexbbQ exQexbbxy x xx xxbbb xxbbb 2 2 2 3 22 2 101 101 化简得 化简得 2 1 023 21 2 单根特征根 特征方程 单根特征根 特征方程 rr rr 例例2 解解 xx ececY 2 21 齐次方程的通解为 齐次方程的通解为 xxx e x xececy 22 21 1 2 原方程通解为原方程通解为 x e x xy 2 1 2 特解为特解为 xxbb xxQ xbbxQ bxxbxQ 462 4 3 62 32 10 10 1 2 0 即 得 代入 即 得 代入 x xeyyy4 2 求 求 3 2 46 002 11 00 bb bb 即即 xx exexccy 3 21 3 2 故通解 故通解 x xexy 3 2 2 1 012 2 二重特征根 特征方程 二重特征根 特征方程 r rr x x exQ exbbxy 2 10 2 14 xxPexPxf m x m 型是型是 例例3 解解 设 设 系数多项式是实实数这里系数多项式是实实数这里 nl PP i ee x ee x ixixixix 2 sin 2 cos xinlxinl xixi n xixi l x nl x e i PP e i PP i ee P ee Pe xxPxxPexf 22 22 22 sin cos 型三 型三 sin cos xxPxxPexf nl x xixi exPexP max nlmmxPxP 次多项式是系数互为共轭的 次多项式是系数互为共轭的 2112 2 1 xfxfxfxfxf exPxfexPxf xixi 且且 令令 有有 不是特征根 是特征根 可求得 自由项属于第一种形式对于 不是特征根 是特征根 可求得 自由项属于第一种形式对于 i i k exQxy exPxfi xi m k xi 0 1 1 1 xi m k exQxy 2 的特解是对应可以证明 对于 的特解是对应可以证明 对于 2 1 2 12 xfyy exPxfxfii xi 21 2 1 xfxfqypyyyyy 是故 是故 sin cos sin cos sin cos 2 1 xxRxxRex xixxQ xixxQex mm xk m m xk sin cos sin cos 2 1 xxRxxRexy xxPxxPeqypyy mm xk nl x 的特解形式 综上所述 的特解形式 综上所述 xi m kxi m k exQxexQxy 即 即 不是特征根 是特征根 不是特征根 是特征根 i i k 0 1 max nlm 代入原方程代入原方程 sin2cos2 cos sin sin cos sin cos cossinsincos 00 0000 0000 0000 0000 xbxde xbdxbd xbdxbdey xbdxbde xdxbxdxbey x x x x 的一个特解的一个特解xeyyy x cos2 3 1 0 1 1 xPxP nl 2 1 21 rr特征方程的根特征方程的根 sincos 00 xdxbey x 设设 例例4 解解 xexdxbe xbdxbde xbxde xx x x cos sincos 2 sin cos 3 sin2cos2 00 0000 00 obd bd ei bbdb bbdd 00 00 0000 0000 1 02 2 12 32 xxdbdb xbbdd cossin 2 2 cos 2 32 0000 0000 2 1 2 1 12 000 dbb sin 2 1 cos 2 1 xxey x 代入原方程代入原方程 4 22 sin 4 22 cos sin 2 cos 2 2 2 22 dxxcbadx bxxadcbxy xbxxadcxdxxcbay 的通解求微分方程的通解求微分方程xxyysin4 0 4 1 0 ln PxxP irr 特征根 特征方程 特征根 特征方程 01 2 sin cos xdxcxbxaxy 令 令 xxbxadxxdxcbsin4 4 2 sincos 4 2 110 00 cba cbd xxbad dxcb 4 4 22 0422 例例5 解解 xxxxxxxxxysincossincos 2 xxxxxcxcycossinsincos 2 21 通解 通解 110 00 cba cbd 的特解是 由例 的特解是 由例 sin4 cossin 5 2 2 2 xfxxyy xxxxy xxxxxxcxcycossin1sincos 22 21 通解通解 的特解是 故 的特解是 故 1sin4 cossin1 2 22 2 1 xxxyy xxxxxyy 的特解是 由例 的特解是 由例 1 1 1 1 2 2 1 xfxyy xy 的通解求微分方程的通解求微分方程1sin4 2 xxxyy 1 xf 2 xf 例例6 解解 思考题思考题 写出微分方程写出微分方程 x exyyy 22 8644 的待定特解的形式的待定特解的形式 思考题解答思考题解答 设的特解为设的特解为 2 644xyyy 1 y x eyyy 2 844 设的特解为设的特解为 2 y 2 y 1 yy 则所求特解为则所求特解为 044 2 rr 特征根特征根2 2 1 r CBxAxy 2 1 x eDxy 22 2 重根 重根 2 y 1 yy CBxAx 2 22x eDx 四 二阶线性微分方程应用举例四 二阶线性微分方程应用举例 举例振动方程举例振动方程 x x O 近作上 下振动 并在平衡位置附平衡位置 则物体离开有初速 使物体具 近作上 下振动 并在平衡位置附平衡位置 则物体离开有初速 使物体具 0 0 v 图示弹簧系统 图示弹簧系统 txxt x 变化的振动规律时间 随动过程中 物体的位置 求在振 变化的振动规律时间 随动过程中 物体的位置 求在振 1 无阻尼自由振动方程无阻尼自由振动方程 解解由力学中的虎克定律知 弹簧使物体回到平衡 位置的弹性恢复力 由力学中的虎克定律知 弹簧使物体回到平衡 位置的弹性恢复力f与物体离开平衡位置的位移与物体离开平衡位置的位移 x成正比成正比 方向和物体位移方向相反 即 由牛顿第二定律 方向和物体位移方向相反 即 由牛顿第二定律 2 1 0 0 0 0 2 2 2 v dt dx xx xk dt xd t t 0 22 ikrkr 3sincos 21 ktcktctx 通解为 通解为 f c x 4cossin 21 ktkcktkctx 2 m c k 反映系统的一个参数 反映系统的一个参数 又称为系统的固有频率 由振动系统本身确定 全它与初始条件无关 完 又称为系统的固有频率 由振动系统本身确定 全它与初始条件无关 完 k k v cxc 0 201 4 3 2 得 代入将初始条件 得 代入将初始条件 5 sincos 0 0 kt k v ktxx 2 2 0 2 0 0 00 0 tan cos sin k v xA v kx A k v Ax 令令 6 sin sincos 0 0 ktAkt k v ktxx 谐振动 分析 运动反映的是简 谐振动 分析 运动反映的是简 周期为 初位相为振幅为 周期为 初位相为振幅为 k T A 2 角频率为 角频率为 m c k 8 7 02 0 0 0 0 2 2 2 v dt dx xx xk dt dx n dt xd t t 与速度成正比 时 空气阻力当物体运动速度不太大 与速度成正比 时 空气阻力当物体运动速度不太大 没有考虑进去 力 如空气阻力 摩擦阻的 原因是有介质阻力 情下去的 这是不符合实简谐振动是无止境运动 没有考虑进去 力 如空气阻力 摩擦阻的 原因是有介质阻力 情下去的 这是不符合实简谐振动是无止境运动 0 dt dx R R考虑 空气阻力考虑 空气阻力 2 2 m n m c k 由牛顿第二定律 由牛顿第二定律 2 有阻尼自由振动方程有阻尼自由振动方程 02 22 knrr 22 2 1 nkinrkni 称为小阻尼情形 12 2 1 2222 tknntknn ececx 2 1 nrkn 0 xt 13 21 tccex nt 平衡位置 增大物体随 平衡位置 增大物体随 t xt0 是衰减运动 大阻尼 或临界阻尼均 由振动 无论是小阻尼总之 对于有阻尼的自 是衰减运动 大阻尼 或临界阻尼均 由振动 无论是小阻尼总之 对于有阻尼的自 21 22 2 1 rrknnr 临界阻尼情形 临界阻尼情形 iii 不考虑空气阻力 不考虑空气阻力 律作用 求物体的运动规的 力作用外 还受铅直干扰设物体受弹性恢复力 律作用 求物体的运动规的 力作用外 还受铅直干扰设物体受弹性恢复力 R ptHF f sin 0 22 ikrkr 14sin 2 2 2 pthxk dt xd 15sincos 21 ktcktctX 通解为 通解为 2 m H h m c k 其中 其中 由牛顿第二定律 由牛顿第二定律 3 无阻尼强迫振动方程无阻尼强迫振动方程 不是特征根若 自由项为 不是特征根若 自由项为 ikpi phPPpth nl 0 0 sin 则齐次方程的通解 令 则齐次方程的通解 令 cos sin 21 AcAc 为任意常数 为任意常数 AktAX 16 sin pt pk h ktAxXxsin sin 22 自由振动 强迫振动 自由振动 强迫振动 22 0sincos pk h baptbptax 设设 可以很大 可以很大 22 pk h 0 2 sincos b p h a ptbptatx ikpii 用待定系数法 设 是特征根则若 用待定系数法 设 是特征根则若 17 cos 2 sin ptt k h ktAxXx ptt k h xcos 2 强迫振动是干扰力引起的 它的角频率即是干扰力的强迫振动是