南京航空航天大学《高等数学》102对坐标的曲线积分.pdf

问题的提出问题的提出 对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的概念 对坐标的曲线积分的计算对坐标的曲线积分的计算 上连续在上连续在 求变力所作的功 平面内从在 作用设一质点受力 求变力所作的功 平面内从在 作用设一质点受力 沿光滑曲线沿光滑曲线 LyxQyxP BAxoy yxQyxPyxF L SFWSF 所作的功直线段经位移分析 常力 所作的功直线段经位移分析 常力 一 问题的提出一 问题的提出 实例 实例 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功 b a dxxFwFdxdw baxF 直线 力的方向沿直线从变力直线 力的方向沿直线从变力 与定积分类似对于本问题解决的方法 与定积分类似对于本问题解决的方法 ox y A B L 1 n M i M 1 i M 2 M 1 M i x i y 分割分割 1111110 BMyxMyxMMA nnnn 1 jyixMM iiii jQiPF iiiiii 取取 ii F 1iiiii MMFW iiiiiii yQxPW 即即 求和求和 n i i WW 1 1 n i iiiiii yQxP 近似值近似值 lim 1 0 取极限取极限 n i iiiiii yQxPW 精确值精确值 近似代替近似代替 1 定义定义 0 2 1 1 11 01 111 222111 时长度的最大值 如果当各小弧段上任意取定的点 为点设 个有向小弧段分成把 上的点用上有界 在函数向光滑曲线弧 的一条有到点面内从点为设 时长度的最大值 如果当各小弧段上任意取定的点 为点设 个有向小弧段分成把 上的点用上有界 在函数向光滑曲线弧 的一条有到点面内从点为设 ii iiiiiiii nii nnn MM yyyxxx BMAMniMM nLyxM yxMyxML LyxQyxP BAxoyL 二 对坐标的曲线积分的概念二 对坐标的曲线积分的概念 lim 1 0 1 ii n i i L n i iii xPdxyxP xLyxP xP 记作或称第二类曲线积分 积分 的曲线上对坐标在有向曲线弧数 则称此极限为函的极限存在 记作或称第二类曲线积分 积分 的曲线上对坐标在有向曲线弧数 则称此极限为函的极限存在 lim 1 0 ii n 类似地定义类似地定义 i i L yQdyyxQ 叫做被积函数其中叫做被积函数其中yxQyxP 叫积分弧段叫积分弧段L 0 i i s x 而可负 可正儿与对弧长的积分相比这 而可负 可正儿与对弧长的积分相比这 注 2 存在条件 存在条件 第二类曲线积分存在上连续时 在光滑曲线弧当 第二类曲线积分存在上连续时 在光滑曲线弧当LyxQyxP 3 组合形式组合形式 L LL dyyxQdxyxP dyyxQdxyxP jdyidxdsjQiPF 其中其中 L dsF LL sdFdyyxQdxyxPW 实例实例 4 推广4 推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧 lim 1 0 iii n i i xPdxzyxP RdzQdyPdx lim 1 0 iii n i i yQdyzyxQ lim 1 0 iii n i i zRdzzyxR 5 性质5 性质 1 21 21 LLL QdyPdxQdyPdxQdyPdx LLL则和分成如果把则和分成如果把 则有向曲线弧 方向相反的是与是有向曲线弧设 则有向曲线弧 方向相反的是与是有向曲线弧设 2 LLL 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP 三 对坐标的曲线积分的计算三 对坐标的曲线积分的计算 且存在 上连续在 描出运动到终点 从起点对应点时由当 且 为端点的区间上连续 及在以 有向曲线弧设 且存在 上连续在 描出运动到终点 从起点对应点时由当 且 为端点的区间上连续 及在以 有向曲线弧设 3 2 0 1 22 LL dyyxQdxyxP LyxQyxP LB AyxMt tt tt tytxL dttttQtttP dyyxQdxyxP LL 起点起点 终点终点 定理定理 未必有 对应终点对应起点 未必有 对应终点对应起点 1 bxBaxA xyy xx xyyAB 2 若 若 注 b a AB dxxyxyxQxyxP dyyxQdxyxP dyBcyA yy yx yxAB 3 终点起点 若 终点起点 若 注 d c AB dyyyQyyyP dyyxQdxyxP 4 终点起点推广 终点起点推广 t tz ty tx dtttttR ttttQttttP RdzQdyPdx 注 5 两类曲线积分之间的联系 两类曲线积分之间的联系 ty tx L 设有向平面曲线弧为 设有向平面曲线弧为 为处的切线向量的方向角上点为处的切线向量的方向角上点yxL LL dsQPQdyPdx coscos 则则 其中其中 cos 22 tt t cos 22 tt t 可以推广到空间曲线上 可以推广到空间曲线上 注 为处的切线向量的方向角上点设为处的切线向量的方向角上点设zyx dsRQPRdzQdyPdx coscoscos 则则 dstA dsA dsAt 可用向量表示可用向量表示 其中 其中 RQPA cos cos cos t dzdydxdstds 有向曲线元 有向曲线元 上的投影在向量为向量上的投影在向量为向量tAAt 处的单位切向量上点处的单位切向量上点 zyx xyxxOB xyxxAO OBAOcx 为参数视为参数视 o x y A 1 1 B 1 1 y2 x AOOBc xydyxydxxydx 5 4 2 1 0 0 1 1 0 2 3 2 3 dxx dxxdxxx 1 1 1 1 2 的一段弧点 到上从点计算 的一段弧点 到上从点计算 B Axycxydx c 例例1 解法解法1 ydydx y yy yx c y 2 11 2 为参数视 为参数视 o x y A 1 1 B 1 1 y2 x 5 4 5 2 2 1 1 5 1 1 3 y ydyyxydx c 解法解法2 2 2 BOcdyxxydx c 到沿二种路径从其中计算到沿二种路径从其中计算 B 1 1 O A y x x y xyOB 1 2 2 1 0 3 1 0 22 2 xdxxx dyxxydx OB 例例2 解解 10 x xy xx OB 2 2 BOcdyxxydx c 到沿二种路径从其中计算到沿二种路径从其中计算 B 1 1 O A y x x yABOAc 1 102002 2 2 1 0 1 0 2 2 dyyxdxx dyxxydx c 例例2 解解 10 1 10 0 y yy x AB x y xx OA 2 2 BOcdyxxydx c 到沿二种路径从其中到沿二种路径从其中 结论 被积函数相同 起点和终点相同 但是路径不同 积分结果相同 结论 被积函数相同 起点和终点相同 但是路径不同 积分结果不同 的直线段 轴到点沿从点 绕行的上半圆周 针方向 圆心在原点 按逆时半径为 其中计算 的直线段 轴到点沿从点 绕行的上半圆周 针方向 圆心在原点 按逆时半径为 其中计算 0 0 2 a 1 2 aBxaA Ldxy L 例例3 沿逆时针方向其中 计算 沿逆时针方向其中 计算 222 2222 ayxc yx ydyxdx yx xdyydx cc 21 cos cos sin sin 20 sin cos 2 0 2 0 2 22 dt dt a tatatata yx xdyydx t tay tax c c 解解 例例4 沿逆时针方向其中 计算 沿逆时针方向其中 计算 222 2222 ayxc yx ydyxdx yx xdyydx cc 0 cos sin sin cos 20 sin cos 2 0 2 22 dt a tatatata yx ydyxd