南京航空航天大学《高等数学》82偏导数.pdf

偏导数的定义及其计算法偏导数的定义及其计算法 高阶偏导数高阶偏导数 定义定义 设函数 设函数 yxfz 在点在点 00 yx的某一 邻域内有定义 当 的某一 邻域内有定义 当y固定在固定在 0 y而而x在在 0 x处有增 量 处有增 量x 时 相应地函数有增量 时 相应地函数有增量 0000 yxfyxxf 如果 如果 x yxfyxxf x lim 0000 0 存在 则 称此极限为函数 存在 则 称此极限为函数 yxfz 在点在点 00 yx处对 处对 x的偏导数 记为的偏导数 记为 一 偏导数的定义及其计算法一 偏导数的定义及其计算法 同理可定义函数同理可定义函数 yxfz 在点在点 00 yx处对处对y 的偏导数 为 的偏导数 为 y yxfyyxf y lim 0000 0 记为 记为 0 0 yy xx y z 0 0 yy xx y f 0 0 yy xx y z 或或 00 yxf y 0 0 yy xx x z 0 0 yy xx x f 0 0 yy xx x z 或或 00 yxf x 如果函数如果函数 yxfz 在区域在区域 D内任一点内任一点 yx 处对处对x的偏导数都存在 那么这个偏导数就是的偏导数都存在 那么这个偏导数就是 x y的函数 它就称为函数的函数 它就称为函数 yxfz 对自变量对自变量 x的的 偏导函数偏导函数 记作记作 x z x f x z或或 yxf x 同理可以定义函数同理可以定义函数 yxfz 对自变量对自变量 y的的 偏导函数偏导函数 记作 记作 y z y f y z或或 yxf y 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如在处如在处 zyxfu zyx lim 0 x zyxfzyxxf zyxf x x lim 0 y zyxfzyyxf zyxf y y lim 0 z zyxfzzyxf zyxf z z 例 1例 1 求求 22 3yxyxz 在点在点 2 1 处的偏导数 处的偏导数 解解 x z 32yx y z 23yx 2 1 y x x z 82312 2 1 y x y z 72213 注 计算函数在一点处的偏导数 通常先求偏导函数 注 计算函数在一点处的偏导数 通常先求偏导函数 然后再把点带入 然后再把点带入 例 2例 2 设设 y xz 1 0 xx 求证求证 z y z xx z y x 2 ln 1 证证 x z 1 y yx y z ln xx y y z xx z y x ln 1 xx x yx y x yy ln ln 1 1 yy xx 2z 原结论成立 原结论成立 例 3例 3 设设 22 arcsin yx x z 求 求 x z y z 解解 x z x yx x yx x 22 22 2 1 1 322 222 yx y y yx 22 yx y 2 yy y z y yx x yx x 22 22 2 1 1 322 22 yx xy y yx yyx x1 sgn 22 0 y 0 0 y xy z 不存在 不存在 例 4例 4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程RTpV R为常数 求证 为常数 求证 1 p T T V V p 证证 V RT p 2 V RT V p p RT V p R T V R pV T R V p T p T T V V p 2 V RT p R R V 1 pV RT 偏导数偏导数 x u 是一个整体记号 不能拆分是一个整体记号 不能拆分 导数导数 有关偏导数的几点说明 有关偏导数的几点说明 dx dy 可以看成是可以看成是 dy 与与 dx 之商之商 xyz 设例如 设例如 xz y y z y x y x z1 2 1 z y y x x z xz x z 理解为若 理解为若 1 z y y x x z 0 0 0 0 yx ffxyyxfz求设例如求设例如 求分界点 不连续点处的偏导数要用定义 求 求分界点 不连续点处的偏导数要用定义 求 解解 x x f x x 0 0 lim 0 0 0 0 0 0 y f 00 0 1 sin 22 22 22 22 y f x f yx yx yx yxyx yxf 的偏导数 练习 求 的偏导数 练习 求 01 0 1 cos 21 sin21 01 0 1 cos 21 sin21 22 22 222222 22 22 222222 yx yx yxyx y yx y y f yx yx yxyx x yx x x f 偏导数存在与连续的关系 偏导数存在与连续的关系 例如例如 函数函数 0 0 0 22 22 22 yx yx yx xy yxf 依定义知在依定义知在 0 0 处 处 0 0 0 0 0 yx ff 但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续 偏导数存在连续偏导数存在连续 一元函数中在某点可导连续 一元函数中在某点可导连续 多元函数中在某点偏导数存在连续 多元函数中在某点偏导数存在连续 tan 0000 0 00 轴正向所成的角切线与的切线斜率 处在就是 轴正向所成的角切线与的切线斜率 处在就是 x zyxM yy yxfz Cyxf x 如图如图 0 yy 0 xx 4 偏导数的几何意义 偏导数的几何意义 偏导数偏导数 00 yxf x 就是曲面被平面就是曲面被平面 0 yy 所截得的曲线在点所截得的曲线在点 0 M处的切线处的切线 x TM 0 对对x轴的 斜率 轴的 斜率 偏导数偏导数 00 yxf y 就是曲面被平面就是曲面被平面 0 xx 所截得的曲线在点所截得的曲线在点 0 M处的切线处的切线 y TM 0 对对y轴 的斜率 轴 的斜率 几何意义 几何意义 轴的倾角 对于 处的切线在点 求曲线例 轴的倾角 对于 处的切线在点 求曲线例 x 2 4 5 4y yx 4 1 z 5 22 4 1 2 1 4 2 倾角为 倾角为 y x x z x x z 2 2 yxf x z x z x xx 2 2 yxf y z y z y yy 2 yxf yx z x z y xy 2 yxf xy z y z x yx 函数函数 yxfz 的二阶偏导数为的二阶偏导数为 纯偏导纯偏导 混合偏导混合偏导 二 高阶偏导数二 高阶偏导数 定义 定义 二阶二阶及及二阶以上二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数的偏导数统称为高阶偏导数 2 2 2 x z x z 注意 注意 xy sinz 例 例 cos sin 22 2 2 2 2 xyy x z xyy x z 例例 6 设 设13 323 xyxyyxz 求求 2 2 x z xy z 2 yx z 2 2 2 y z 及 3 3 x z 解解 x z 33 322 yyyx y z 92 23 xxyyx 2 2 x z 6 2 xy 2 2 y z 182 3 xyx 3 3 x z 6 2 y xy z 2 196 22 yyx yx z 2 196 22 yyx 例 7例 7 设设byeu ax cos 求二阶偏导数 求二阶偏导数 解解 cosbyae x u ax sinbybe y u ax cos 2 2 2 byea x u ax cos 2 2 2 byeb y u ax sin 2 byabe yx u ax sin 2 byabe xy u ax 定理定理 如果函数 如果函数 yxfz 的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数 xy z 2 及及 yx z 2 在区域 D 内连续 那末在该区域内这 两个二阶混合偏导数必相等 在区域 D 内连续 那末在该区域内这 两个二阶混合偏导数必相等 问题 问题 混合偏导数都相等吗 具备怎样的条件才 相等 混合偏导数都相等吗 具备怎样的条件才 相等 例 8例 8 验证函数验证函数 22 ln yxyxu 满足拉普拉 斯方程 满足拉普拉 斯方程 0 2 2 2 2 y u x u 解解 ln 2 1 ln 2222 yxyx 22 yx x x u 22 yx y y u 2 222 22 222 22 2 2 yx xy yx xxyx x u 2 222 22 222 22 2 2 yx yx yx yyyx y u 222 22 222 22 2 2 2 2 yx yx yx xy y u x u 0 偏导数的定义偏导数的定义 偏导数的计算 偏导数的几何意义偏导数的计算 偏导数的几何意义 高阶偏导数高阶偏导数 纯偏导 混合偏导 纯偏导 混