南京航空航天大学《高等数学》32洛必达法则.pdf

1 第二节 洛必达法则第二节 洛必达法则 洛必达法则型未定式解法型及洛必达法则型未定式解法型及 0 0 型未定式解法型未定式解法 00 1 0 0 2 洛必达法则型未定式解法型及一 洛必达法则型未定式解法型及一 0 0 定义定义 0 0 lim 型未定式或称为 那末极限大都趋于零或都趋于无穷与 两个函数时或如果当 型未定式或称为 那末极限大都趋于零或都趋于无穷与 两个函数时或如果当 xF xf xF xfxax x ax 例如例如 tan lim 0 x x x sinln sinln lim 0 bx ax x 0 0 3 lim lim lim 3 0 2 0 lim 0 lim 1 xF xf xF xf xF xf xFxF xfaa xFxf axax ax axax 那末 或为无穷大存在 都存在且 及可以除外点点的某领域内在 设 那末 或为无穷大存在 都存在且 及可以除外点点的某领域内在 设定理定理1 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求 极限来确定未定式的值的方法称为 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求 极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则洛必达法则 该法则仍然成立时及时当 该法则仍然成立时及时当 xaxax 4 证证定义辅助函数定义辅助函数 0 1 ax axxf xf 0 1 ax axxF xF 0 xaU内任取一点在内任取一点在 为端点的区间上与在以为端点的区间上与在以xa 11 件满足柯西中值定理的条件满足柯西中值定理的条xFxf则有则有 aFxF afxf xF xf F f 之间与在之间与在ax aax 时当时当 limA xF xf ax limA F f a lim limA F f xF xf aax 5 例1 解 例1 解 1 1 lim 0 x x x 求求 1 1 lim 1 0 x x 原式原式 例2 解 例2 解 1 23 lim 23 3 1 xxx xx x 求求 123 33 lim 2 2 1 xx x x 原式原式 26 6 lim 1 x x x 2 3 0 0 0 0 6 例3 解 例3 解 1 arctan 2 lim x x x 求求 2 2 1 1 1 lim x x x 原式原式 2 2 1 lim x x x 1 例4例4 0 0 cos1 2 lim 0 x ee xx x 求求 0 0 7 注意 注意 洛必达法则是求未定式的一种有效方法 但与其它求极限方法结合使用 效果更好 洛必达法则是求未定式的一种有效方法 但与其它求极限方法结合使用 效果更好 例5 解 例5 解 tan sin lim 2 0 xx xx x 求求 3 0 sin lim x xx x 原式原式 x x x6 sin lim 0 2 0 3 1cos lim x x x 6 1 8 lim lim lim 3 0 2 lim lim 1 xF xf xF xf xF xf xFxF xfaa xFxf axax ax axax 那末 或为无穷大存在 都存在且 及可以除外点点的某领域内在 设 那末 或为无穷大存在 都存在且 及可以除外点点的某领域内在 设定理定理2 该法则仍然成立时及时当 该法则仍然成立时及时当 xaxax 9 例6 解 例6 解 sinln sinln lim 0 bx ax x 求求 axbxb bxaxa x sincos sincos lim 0 原式原式 1 ax bx x cos cos lim 0 3 3sin sin3 lim cos 3cos lim cos3sin 3cossin lim 2 22 x x x x xx xx x xx 原式原式 例7例7 3tan tan lim 2 x x x 求求 解解 10 型未定式解法二 型未定式解法二 00 1 0 0 例8 解 例8 解 lim 2x x ex 求求 0 x e x x 2 lim 原式原式 2 lim x x e 2 lim x x e 关键 关键 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 0 0 1 0 1 型 型 0 1 00 或 或 1 1 xf xg xf xg xgxf或 或 11 例9 解 例9 解 1 sin 1 lim 0 xx x 求求 0 1 0 1 2 型 型 00 00 xx xx x sin sin lim 0 原式原式 xxx x x cossin cos1 lim 0 0 通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为或不定型 通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为或不定型 0 0 12 型型 00 1 0 3 ln0 1ln 0ln0 1 0 0 0 取对数取对数 0 通过通过 ln xfxgxg exf 将三种不定式转化为将三种不定式转化为0 型 型 例10 解 例10 解 lim 0 x x x 求求 0 0 xx x e ln 0 lim 原式 原式 xx x e lnlim 0 2 0 1 1 lim x x x e 0 e 1 x x x e 1 ln lim 0 13 例11 解 例11 解 lim 1 1 1 x x x 求求 1 x x x e ln 1 1 1 lim 原式 原式 x x x e 1 ln lim 11 1 lim 1 x x e 1 e 例12 解 例12 解 cotlim ln 1 0 x x x 求求 0 cot ln cot ln 1 ln 1 x xx ex 取对数得 取对数得 ln cot ln 1 lim 0 x x x x xx x1 sin 1 cot 1 lim 2 0 xx x xsincos lim 0 1 1 e原式原式 14 例13例13 sin11 sin lim sin sin11 lim 3 0 3 0 xxx xx x xx xx 注意 注意 洛必达法则只用于洛必达法则只用于 0 0 用洛必达法则过程中要及时化简用洛必达法则过程中要及时化简 并灵活结合其他 求极限方法 并灵活结合其他 求极限方法 12 1 2 sin lim 3 0 x xx x 洛必达法则有时并不适用洛必达法则有时并不适用 lim xx xx x ee ee 求如 求如 sin lim sin 0 xx ee xx x 求求 2 2 lim 2 xxx x x 15 例14 解 例14 解 cos lim x xx x 求求 1 sin1 lim x x 原式原式 sin1 limx x 极限不存在极限不存在 洛必达法则失效 洛必达法则失效 cos 1 1 limx x x 原式原式 1 16 三 小结三 小结 洛必达法则洛必达法则 型型 00 1 0 型 型 型型 0 型型 0 0 型型 g f gf 1 fg fg gf 11 11 取对数 令 取对数 令 g fy 17 思考思考 1 设 设 lim xg xf 是不定型极限 如果是不定型极限 如果 xg xf 的极限不 存在 是否 的极限不 存在 是否 xg xf 的极限也一定不存在 举例说明的极限也一定不存在 举例说明 2 设 2 设0 lim lim xFxf axax 且在点 且在点a的某邻域中 点 的某邻域中 点a可除外 可除外 xf及及 xF都存在 且都存在 且0 xF 则 则 lim xF xf ax 存在是存在是 lim xF xf ax 存在的 A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要