高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课件 新人教A版必修4.ppt

2 2 3向量数乘运算及其几何意义 一 二 三 四 一 向量的数乘运算 问题思考 1 如图 已知向量a 请作出a a a和 a a a 并指出所得和向量与向量a的模 方向有什么关系 一 二 三 四 2 填空 一 二 三 四 一 二 三 四 二 数乘运算的运算律 问题思考 1 已知向量a 请通过作图判断以下结论是否成立 1 3 2a 6a 2 2 3 a 2a 3a 3 2 a b 2a 2b 一 二 三 四 提示 各式均是成立的 如图 1 3 2a 6a 2 2 3 a 2a 3a 3 2 a b 2a 2b 一 二 三 四 2 填空 数乘向量的运算律 1 a a 2 a a a 3 a b a b 特别地 有 a a a a b a b 答案 c 一 二 三 四 三 共线向量定理 问题思考 1 若a是非零向量 则 a与a有什么关系 如果b a a 0 那么b a是否成立 提示 a与a是共线向量 如果b a a 0 那么b a一定成立 2 填空 共线向量定理向量a a 0 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使b a 一 二 三 四 3 关于共线向量定理的说明 1 定理中 向量a为非零向量 即定理不包含0与0共线的情况 2 条件a 0是必须的 否则当a 0 b 0时 虽然b与a共线 但不存在实数 使得b a 当a 0 b 0时 可以是任意实数 3 要证明向量a b共线 只需证明存在实数 使得b a即可 4 若b a r 则a与b共线 5 由本性质定理知 若向量有公共点a 从而a b c三点共线 这是证明三点共线的重要方法 一 二 三 四 4 做一做 若向量e1 e2不共线 则下列各组中 向量a b共线的有 填序号 a 2e1 b 2e1 a e1 e2 b 2e1 2e2 a e1 e2 b 2e1 2e2 解析 中 a b 所以a b共线 中 b 2a 所以a b共线 中 a 4b 所以a b共线 中 不存在 r 使a b 所以a b不共线 答案 一 二 三 四 四 向量的线性运算 问题思考 向量的加法 减法 数乘运算统称为向量的线性运算 对于任意向量a b 以及任意实数 1 2 恒有 1a 2b 1a 2b 一 二 三 四 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 对于任意向量a和任意实数 a与a一定是共线向量 2 向量 a与a的方向不是相同就是相反 3 若向量a和b共线 则必有b a 4 若向量a和b不共线 且 a b 则必有 0 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分析 1 根据向量的线性运算法则求解 2 运用实数的二元一次方程组的解法求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟向量的线性运算类似于代数多项式的运算 共线向量可以合并 即 合并同类项 提取公因式 这里的 同类项 公因式 指的是向量 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 已知非零向量e1 e2不共线 且向量ke1 4e2与3e1 ke2共线 求实数k的值 解 因为向量ke1 4e2与3e1 ke2共线 所以存在实数 使得ke1 4e2 3e1 ke2 即ke1 4e2 3 e1 k e2 所以 k 3 e1 4 k e2 因为非零向量e1 e2不共线 反思感悟在解决向量共线问题时 应熟记并能灵活运用 若非零向量e1 e2不共线 且 e1 e2 则必有 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 本例中 若要求向量ke1 4e2与3e1 ke2反向共线 如何求实数k的值 解 因为向量ke1 4e2与3e1 ke2反向共线 所以存在实数 0 使得ke1 4e2 3e1 ke2 即ke1 4e2 3 e1 k e2 所以 k 3 e1 4 k e2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 答案 a 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分析根据向量加法 减法以及数乘向量的法则并结合平行四边形的性质进行求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量 应结合已知和所求 联想相关的法则和几何图形的有关定理 将所求向量反复分解 直到全部可以用已知向量表示即可 其实质是向量的线性运算的反复应用 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 对共线向量的条件理解不清致误 典例 已知非零向量e1和e2 试判断3e1 2e2与3e1 2e2是否共线 错解 若存在实数 使3e1 2e2 3e1 2e2 则3e1 2e2 3 e1 2 e2 即 3 3 e1 2 2 e2 错解 错在什么地方 你能发现吗 怎样避免这类错误呢 提示 错解 中对向量共线的条件理解不清 只有当e1 e2不共线 且 e1 e2时 才有 0 否则不一定成立 题目条件没有限定e1和e2不共线 因此 上述解法是错误的 探究一 探究二 探究三 思维辨析 正解 若向量e1和e2不共线 由错解 过程可知3e1 2e2与3e1 2e2不共线 若向量e1和e2共线 可设e2 ke1 k r 则3e1 2e2 3 2k e1 3e1 2e2 3 2k e1 3 2k与3 2k中至少有一个不为0 不妨设3 2k 0 于是防范措施要注意结论 若非零向量e1 e2不共线 且 e1 e2 则必有 0 成立的条件是e1 e2不共线 因此在应用该结论解决相关问题时 务必注意这一条件 1 2 3 4 5 1 设a是非零向量 是非零实数 则下列结论正确的是 a a与 a的方向相同b a与 a的方向相反c a与 2a的方向相同d a a 解析 因为 0 所以 2 0 于是向量a与 2a的方向相同 答案 c 1 2 3 4 5 2 下列各式不表示向量的是 a 0 ab a 3b解析 3a 是向量3a的模 是实数而不是向量 答案 c 1 2 3 4 5 3 4 a b 3 a b b等于 a a 2bb ac a 6bd a 8b解析 原式 4a 4b 3a 3b b a 8b 答案 d