南京航空航天大学《高等数学》72向量及其运算.pdf

第二节 向量及其运算第二节 向量及其运算 向量 既向量 既有大小又有方向的量 有大小又有方向的量 向量表示 向量表示 以以 1 M为起点 为起点 2 M为终点的有向线段为终点的有向线段 1 M 2 M a 21M M 模长为1的向量 模长为1的向量 21M M 向量的模 向量的大小 或向量的模 向量的大小 或 单位向量 单位向量 一 向量的概念一 向量的概念 或或 0 aa 表示与同向的单位向量表示与同向的单位向量 21M M 00 a或或 a 零向量 模长为0的向量 零向量 模长为0的向量 0 零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的 自由向量 不考虑起点位置的向量 自由向量 不考虑起点位置的向量 可以平行移动 可以平行移动 向径 空间直角坐标系中任一点与原点 构成的向量 向径 空间直角坐标系中任一点与原点 构成的向量 OM M 一 向量的概念一 向量的概念 负向量 大小相等但方向相反的向量 负向量 大小相等但方向相反的向量 a a a 相等向量 相等向量 a b 大小相等且方向相同的向量 大小相等且方向相同的向量 平行向量 方向相同或者相反的两个向量 平行向量 方向相同或者相反的两个向量 ba 一 向量的概念一 向量的概念 1 加法 加法 cba a b c 平行四边形法则 平行四边形法则 特殊地 若特殊地 若 a b a b c bac 分为同向和反向分为同向和反向 b a c bac 平行四边形法则有时也称为三角形法则 平行四边形法则有时也称为三角形法则 二 向量的加减法二 向量的加减法 向量的加法符合下列运算规律 向量的加法符合下列运算规律 1 交换律 1 交换律 abba 2 结合律 2 结合律 cbacba cba 3 0 aa 二 向量的加减法二 向量的加减法 a b c ba cba 2 减法减法 baba a b b b c ba bac ba ba a b 二 向量的加减法二 向量的加减法 例1化简例1化简 5 3 2 1 5 ab bba 解解 5 3 2 1 5 ab bba ba 5 5 1 2 5 1 31 2 5 2ba 例2 试用向量方法证明 对角线互相平分的 四边形必是平行四边形 例2 试用向量方法证明 对角线互相平分的 四边形必是平行四边形 证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与 平行且相等与平行且相等 BC结论得证结论得证 A B C D M a b 设设 是一个数 向量是一个数 向量a 与与 的乘积的乘积a 规定为规定为 0 1 a 与与a 同向 同向 aa 0 2 0 a 0 3 a 与与a 反向 反向 aa a a 2 a 2 1 三 向量与数的乘法三 向量与数的乘法 同方向的单位向量 表示与非零向量设同方向的单位向量 表示与非零向量设aa 0 按照向量与数的乘积的规定 按照向量与数的乘积的规定 0 aaa 0 a a a 上式表明 一个非零向量除以它的模的结果是 一个与 上式表明 一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量原向量同方向的单位向量 数与向量的乘积符合下列运算规律 数与向量的乘积符合下列运算规律 1 结合律 1 结合律 aa a 2 分配律 2 分配律 aaa baba 0 ab aba 使一的实数分必要条件是 存在唯 的充平行于 那末向量设向量定理 使一的实数分必要条件是 存在唯 的充平行于 那末向量设向量定理 两个向量的平行关系两个向量的平行关系 证证 充分性充分性 0 0 倍的长度的长度是 反向同向与由定义知如果 倍的长度的长度是 反向同向与由定义知如果 ab ba a b 故知故知 证证必要性必要性 0 1 000 00 a b a a b aa a b abbbb abba 因此则同向与如果因此则同向与如果 0 2 000 00 a b aaa a b abbbb abba 因此则反向与如果因此则反向与如果 的唯一性的唯一性 设 设ab 又设 又设ab 两式相减 得两式相减 得 0 a 即 即0 a 0 a 故 故0 即即 证证唯一性唯一性 例3 试用向量方法证明 空间四边形相邻各 边中点的连线构成平行四边形 例3 试用向量方法证明 空间四边形相邻各 边中点的连线构成平行四边形 证证 只要证只要证HGEF A B C D E F G H ACDCADDGHDHG 2 1 2 1 2 1 ACBCABBFEBEF 2 1 2 1 2 1 HG EF 思考题思考题 已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线 AC a BDb