（理论物理专业论文）minkowski空间及其二次曲面上的完全poncelet定理.pdf

中文摘要 p o n c e l e t 定理是几何学中一条著名的定理 该定理主要涉及二维空间中的直线在该 空间中一个椭圆内发生的连续反射以及这些反射的直线段所具有的特殊性质 特别是当 该直线在椭圆内反射了p 次之后形成一个封闭的多边形p 时 我们就能得到2 维情况下 相应的p o n c e l e t 定理 而此时的多边形尸就被称为p o n c e l e t 多边形 p o n c e l e t 定理所表述的这些内容使我们可以将它与以下实际的物理问题相联系 一 个粒子在某个给定的空间中做自由运动 并在该空间中的某个二次曲面上发生弹性碰 撞 此时 我们可以将做自由运动的粒子看作空间中的 直线 而将粒子在二次曲面 的边界上的弹性碰撞看作是直线在二次曲面上的反射 这种粒子在空间内做自由运动而 在一定的边界上发生弹性碰撞的模型一般就被称为弹子球系统 p o n c e l e t 定理的内容与 弹子球模型之间具有高度相似性 这就使得我们可以利用p o n c e l e t 定理所给出的结果对 在给定空间中的自由粒子的运动规律给出定量的描述 我们还可以将p o n c e l e t 定理推广 到高维空间上 而且在 定的极限情况下我们还能得到约束在二次曲面上运动的自由粒 子的p o n c e l e t 定理 由于近年来超弦理论和宇宙学的迅速发展 a d s 空间和d s 空间中的各种动力学性 质的研究引起了人们广泛的兴趣 而a d s 空间和d s 空间在一定情况下都可以看作是更 高维m i n k o w s k i 空间上的二次曲面 这样我们就可以通过高维空间上的p o n c e l e t 定理分 析自由粒子在这些空间中运动时相应的动力学问题 从而对这些自由粒子的运动规律给 出一定的描述 本论文的主要工作在于 从三个不同的角度出发 讨论了自由粒子在m i n k o w s k i 空 间中的超平面上的反射 得到了相应的反射定理 并发现该定义与射影几何下反射的定 义是一致的 由此我们得到了m i n k o w s k i 空间中的p o n c e l e t 定理 之后我们再将其用到 高维m i n k o w s k i 空间上的某些特殊二次曲面上 由此得到了在这些空间中的完全 p o n c e l e t 定理 而这些特殊的二次f h j 面中就包括d s 空间和a d s 空间 此外 本文的附录还介绍以了本人在量子信息方面的一些工作 关键词 p o n c e l e t 定理 m i n k o w s k i 空间 二次曲面 反射定理 a d s 空间和d s 空间 完全p o n c e l e t 定理 a b s t r a c t p o n c e l e t st h e o r e mi saf a m o u st h e o r e mi ng e o m e t r yw h i c hr e f e r st oas t r a i g h tl i n e r e f l e c t se l a s t i c a l l yo na ne l l i p s ea n dt h ep r o p e r t i e si tp o s s e s s e s e s p e c i a l l y i ft h et r a j e c t o r yo f t h el i n ef o r m sac l o s e dp o l y g o na f t e rpb o u n c e so nt h eb o u n d a r y t h e nw ec a no b t a i n p o n c e l e t st h e o r e mi nt w o d i m e n s i o n a ls p a c e a n dt h ep o l y g o ni sc a l l e dp o n c e l e t sp o l y g o n w ec a nr e l a t et h i st h e o r e mt os o m ep r a c t i c a lp h y s i c a lp r o b l e m s o n ep a r t i c l em o v e s f r e e l yi ns o m es p a c ea n db o u n c e se l a s t i c a l l yo naq u a d r i cb o u n d a r yi nt h i ss p a c e t h e nw ec a n t r e a tt h ef r e ep a r t i c l ea st h es t r a i g h tl i n ea n dt h er e f l e c t i o na st h eb o u n c eo nb o u n d a r y t h e s e s y s t e m sa r eb i l l i a r ds y s t e m s t h es i m i l a r i t yb e t w e e np o n c e l e t st h e o r e ma n dq u a d r i cb i l l i a r d s y s t e mf a c i l i t a t eu su s i n gt h e s er e s u l t st od e s c r i b et h ep r o p e r t i e so ft h ep a r t i c l e w ec a na l s o e x t e n dp o n c e l e t st h e o r e mt oh i g h d i m e n s i o n a ls p a c e sa n dd e r i v ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so n r e s t r i c t e dq u a d r i cs u r f a c e s b yt h ed e v e l o p m e n to fs u p e r s t r i n gt h e o r ya n dc o s m o l o g y d y n a m i c a lp r o p e r t i e so fa d s s p a c e sa n dd ss p a c e sa t t r a c tm o r ea n dm o r ei n t e r e s t b e c a u s eo fa d ss p a c e sa n dd ss p a c e s c a nb et r e a ta sq u a d r i cs u r f a c e si nh i g h d i m e n s i o n a lm i n k o w s k is p a c e s w ec a na n a l y s et h e m o t i o no faf r e ep a r t i c l ei nt h e s es p a c e sb yp o n c e l e t st h e o r e m t h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r ea sf o l l o w s f r o md i f f e r e n tp e r s p e c t i v e s w ed i s c u s st h er e f l e c t i o no faf r e ep a r t i c l eo nah y p e r p l a n e i nam i n k o w s k is p a c e a n dd e r i v et h ec o r r e s p o n d i n gr e f l e c t i o nl a ww h i c hi sc o n s i s t e n tw i t hi t s d e f i n i t i o ni np r o j e c t i v eg e o m e t r y t h e nw eg e n e r a l i s ep o n c e l e t st h e o r e ma n df u l lp o n c e l e t s t h e o r e mt oh i g h d i m e n s i o n a lm i n k o w s k is p a c e sa n dt h e i rq u a d r i cs u r f a c e si n c l u d i n ga d s s p a c e sa n dd ss p a c e s i na d d i t i o n ia l s oi n t r o d u c es o m eo fm yw o r ko nq u a n t u mi n f o r m a t i o ni na p p e n d i x k e y w o r d s p o n c e l e t st h e o r e m m i n k o w s k is p a c e q u a d r a t i cs u r f a c e r e f l e c t i o nl a w a d ss p a c e sa n dd s s p a c e s f u l lp o n c e l e t st h e o r e m 1 1 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集 保存 使用学位论文的规定 学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 本人 允许论文被查阅和借阅 本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 同时授权中国科学技术信息研究所等机构 将本学位论文收录到 中国学位论文全文数据库 或其它相关数据库 保密论文待解密后适用本声明 学位论文作者签名 触指导教师签名 p 气年6 日17 e t 易r 沮 西北大学学位论文独创性声明 本人声明 所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果 据我所知 除了文中特别加以标注和致谢 的地方外 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果 也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名 z 雅勉 矽7 年 月f t 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 p o n c e l e t 定理是几何学中的一条著名定理 它可以与自由粒子在某一个空间中的二 次曲面内的运动以及粒子在该二次曲面上的运动联系起来 而这些空间中的一个特例就 是m i n k o w s k i 空间以及m i n k o w s k i 空间中的二次曲面的边界 这些边界中就包括a d s 空间和d s 空间 近年来由于超弦理论和宇宙学的发展 粒子在a d s 空间和d s 空间中 的动力学问题也引起了越来越多的人的关注 根据p o n c e l e t 定理我们可以得到粒子在上 述空间中运动时的某些动力学规律 并在这些空间上建立完全的p o n c e l e t 定理 从而对 在这些空间中做自由运动的粒子给出一定的描述 1 1p o n c e l e t 定理的研究背景 p o n c e l e t 定理是射影几何中的一个优美的结论 它的最简单的表述是 一条在椭圆q 内部的直线 经椭圆的边界多次反射后的形成的一系列折线段一定外切于某一个与原先 的椭圆q 共交的二次曲线q 7 二次曲线q 7 可以是椭圆也可以是双曲线 如果直线在q 表 面经过p 次反射而形成一个封闭的多变形p 那么从椭圆q 上的任意一点出发且与二次 曲线q 7 相切的直线段在经椭圆q 反射p 次之后必定形成一个封闭的多边形 p o n c e l e t 定理的极端情况就是从椭圆一焦点射出的光线经椭圆反射后必通过该椭圆的另一个焦 点 这也是我们所熟知的结果 p o n c e l e t 定理之所以会被广泛研究是由于它所涉及的内容与我们所研究的一大类物 理问题有密切的联系 我们可以将p o n c e l e t 定理中的光线看作做自由运动的粒子的运动 轨迹 而将光线在椭圆边界上的反射看作粒子在运动空间中的边界上的弹性碰撞 正是由于这两者之间存在着这种相似性 b i r k h o f f 首先对这类问题引入了弹子球系 统 b i l l i a r ds y s t e m 这一称谓 b i r k h o f f 假设若一个粒子在一个约束区域内做自由运动 而在它的边界上发生弹性反射 那么该系统就是一个弹子球系统 而当约束区域是一个 凸的区域时我们就称该系统是一个b i r k h o f f 弹子球 更进一步的 当弹子球的反射边界 是任意阶可微的时候 我们可以称该系统是一个光滑的弹子球系统 由此我们也可以看 到b i r k h o f f 弹子球系统的边界可以是椭圆 三角形 多边形等任意的凸区域 而在本文 中我们主要考虑以椭圆和高维的椭球等二次曲面为边界的凸区域内的弹子球的运动 弹 子球系统虽然只是一个简单抽象出来的物理系统 但它一般都具有复杂哈密顿系统的许 第一章绪论 多性质 我们还能用它来考察经典力学与量子力学之间的转变关系以及物理系统的可积 性和混沌等其它问题 2 1 由此我们可以知道考察b i r k h o f f 弹子球可以帮助我们更好的理 解体系的动力学规律 而本文主要涉及的椭圆弹子球体系 e l l i p t i c a lb i l l i a r ds y s t e m 正是 这样一类特殊的弹子球系统 1 2 超弦理论和宇宙学的需求 弦理论 s t r i n gt h e o r y 是近3 0 年来发展起来的理论物理的重要分支 它试图将量子 力学与广义相对论结合起来 形成一种大统一的理论 从而用它来对引力 电磁力 强 相互作用 弱相互作用这四种已知的力进行统一的描述 起初人们从一个特殊的公式出 发希望用它来解释自然界中的强相互作用 因为这一理论可以解释强相互作用中的散射 截面的某些对称性质 由于该理论将基本粒子看作是一条振动的弦的不同能量的激发 所以人们称这一理论为弦理论 但是之后不久人们就发现了正确解释强相互作用的理论 应该是量子色动力学而并非弦理论 而且弦理论要求时空的维数必须是2 6 维的 这与 我们直观的物理概念存在着巨大的差异 3 虽然遇上了不少的困难 但弦论的发展并没 有停止 人们之后还在弦理论中引入超对称 使得原本仅具有玻色子的玻色弦成为同时 具有玻色子和费密子的超弦 人们还从超弦是否有快子 是否存在开弦以及超弦的对称 群等不同的角度出发提出了5 种不同的弦论模型 而这些弦都要求时空的维数是1 0 维 的 上世纪九十年代中期 w i t t e n 提出了将五种不同的弦论统一成一种的理论 并将其 称为m 理论 而该理论要求我们的空间是1 1 维的 4 在这之后 超弦理论取得了许多 重大的发现 这其中的代表就是t 对偶 5 和a d s c f t a n t id es i t t e r c o n f o r m a lf i e l d t 1 1 e o m 对应 7 1 超弦理论预言世界的基本单元并不是以前人们认为的点粒子 而是一条类似于在 空间中振动的一维的弦或者是在更高维空间中的延展体一膜 另外超弦理论预言世界是 处在1 1 维的时空中的 这些概念都与经典物理甚至是量子物理中的概念具有极大的差 异 虽然还没有实验可以对超弦理论讵确与否进行检测 但是许多理论物理学家仍然认 为它是大统一理论最可能的候选者 这其中除了超弦理论在数学上成功之外 更主要的 是它能建立一套逻辑上完全自洽的理论 而从这一理论出发我们可以简单得到粒子物理 标准模型中的许多结论 相对于近3 0 年来发展起来的超弦理论 广义相对论可以说是一门发展了一个世纪 的相对比较成熟的学科了 相对论创立之后w i l l e md es i d e r 就发现爱因斯坦场方程可以 2 西北大学硕士学位论文 具有一个正宇宙学常数的真空解 而这些解对应的空间就被称为d es i t t e r 空间 特别是 当时空维数是4 的时候人们还将这种空间称为d es i t t e r 宇宙 d es i t t e r 空间之所能引起 人们的广泛研究是因为正宇宙学常数这一假设预言了暗物质 d a r km a t t e r 的存在 暗物质 不能通过其发射的辐射被探测到 这也是我们称其为 暗物质 的原因 但是暗物质和 其他物质之间仍然存在引力相互作用 所以我们还是可以通过观测天体之间的引力效应 来判断其是否存在 而事实上最近的实验也证明了暗物质确实是存在的 而宇宙学常数 也确实是一个很小正数 与d s 空间相对应的我们还有a d s 空间 a n t id es i t t e rs p a c e s 当爱因斯坦场方程 在具有一个负宇宙学常数的真空解时 我们就称该解所对应的时空为a d s 空间 虽然 a d s 空间不能像d s 空间一样预言暗物质的存在 但它却与另一类物理问题紧密地联系 在一起 上世纪9 0 年代 m a l d a c e n a 提出了a d s c f t 对应 6 他猜测定义在某一个空 间中的引力理论与定义在这个空间表面上的一个不含引力的量子场论之间是等价的 与 此同时他证明了定义在a d s 空间中的超弦理论与该空间边界上的共形场论是等价的 这 一理论被称为a d s c f t 对应 而这个理论中的一个主要例子就是定义在a d s 5 s 5 上的 i 培型超弦与定义在彳弧的4 维边界上的n 4 的超y a n g m i l l s 规范理论之间是等价的 正是由于a d s c f t 对应可以将超弦理论和一个无引力的量子场论联系起来 从而对引 力的起源做出一定得解释 所以a d s c f t 对应一经提出就吸引了一大批理论物理学家 的注意 现在a d s c f t 对应已经成为当今理论物理研究的最前沿问题之一 a d s 空间和d s 空间都是最大对称空间 从对称性来看他们都是一类特殊的空间 而由上面的介绍我们还可以看出无论是从宇宙学的角度出发还是从超弦理论的角度出 发 a d s 空间和d s 空间都具有极其重要的研究价值 这两者都要求我们对a d s 空间和 d s 空间进行深入广泛的研究 1 3 先前的主要工作 人们得到2 维空间中的p o n c e l e t 定理之后 j a c o b i 首先认识到它和椭圆函数加法公 式之间存在着某些代数关系 而h a r t 则通过构造另一个共焦二次曲线的方法得到了h a r t 引理 从而证明了p o n c e l e t 定理f8 1 之后 k e l l y r u b i n o w 9 1 和s i n a i 1 0 分别对这种椭圆 弹子球系统做了更加深入的研究 并给出了该系统的一些特殊性质的简单证明 这其中 就包括椭圆弹子球系统散焦面的存在性的证明 g r i f f i t h s 和h a r r i s 则将p o n c e l e t 定理推 3 第一章绪论 广到三维空间的多面体情况 得到了g r i f f i t h s h a r r i s 定型1 1 这里我们要注意散焦面并 不是椭圆弹子球系统特有的 对于三角形或者多边形内的弹子球系统我们仍然可以找到 相应的散焦面 在先前这些工作的基础上 c h a n g 和f r i e d b e r g 从椭圆弹子球的拉格朗日量出发 考 察了在2 维和3 维情况下该弹子球系统的动力学过程 他们采用了椭圆坐标处理上述的 椭圆弹子球问题 在对主函数做了一定假设之后 他们发觉该系统是一个可分离变量的 系统 也就是它是一个可积系统 由此他们推广了2 维情况下的p o n c e l e t 定理 证明了 在3 维情况下 构成椭圆弹子球轨迹的所有直线段均与2 个二次曲面相切 这两个二次 曲面就是该轨迹的散焦面 1 2 特别的 当弹子球的轨迹在椭圆表面反射p 次而形成一个 封闭的路径时 他们还证明从椭圆表面的任意点出发一定存在一条路径 它与先前的路 径具有相同的散焦面 且该路径在椭圆表面反射p 次后封闭 所有这些路径具有相同的 总长度 而对于一个具有恒定能量的弹子球来说 其连续反射经过一个周期所需的时间 也是相同的 在这之后 c h a n g 和s h i 又将p o n c e l e t 定理推广到高维空间的二次曲面上 他们的 主要思想就是要求反射路径的一个散焦面无限趋近于反射的高维椭球面 这时弹子球的 轨迹自然而然就被限制在高维椭球的表面了 而在这些曲面中就包括球面 赝球面 赝 椭球面等常见的空间 由此他们得到了这些空间上的p o n c e l e t 定理 1 3 c h a n g c r e s i p 和s h i 还将p o n c e l e t 定理推广到了更一般的情形 即取消弹子球的反 射必须在同一个二次曲面q 上这一限制 使得弹子球每一次的反射可以发生在不同的二 次曲面 q 上 此时 如果我们保证这些二次曲面q 和二次曲面 q f 是共焦的 那么对 于特定的二次曲面q 名 我们就能通过已知的p o n c e l e t 多变形尸构造出一个或者两个相 应的p o n c e l e t 多边形尸 由于q 2 具有一定的任意性 所以对于一个p o n c e l e t 多变形p 我们可以通过不同的0 2 构造无穷多个多边形 这些多边形都具有多边形p 的性质 这一结论就被称为完全的p o n c e l e t 定n t l 4 1 1 4 本文的主要工作 本文在1 3 节所述工作的基础上 探讨了弹子球在m i n k o w s k i 空间中的超平面上的 4 两北大学硕上学位论文 反射问题 得到了弹子球在这些平面上发生反射时所应遵从的反射定理 进一步的我们 将该定理应用到弹子球在共焦二次曲面上的反射问题上 得到了在高维m i n k o w s k i 空间 的完全p o n c e l e t 定理 最后我们把该定理推广到m i n k o w s k i 空间中的某些二次曲面上 在这些面上建立了完全p o n c e l e t 定理 这些二次曲面中就包括重要的d s 空间与a d s 空 间 它们与超弦理论 宇宙学有着密切的关系 1 5 论文的结构 本文第一章为绪论 主要介绍p o n c e l e t 定理的基本表述和弹子球系统的研究背景 通过对超弦理论 暗物质以及a d s c f t 对应等理论的简单介绍明确了a d s 空间和d s 空间对于这些理论的重要性 这也是我们研究这些空间中动力学性质的一个主要原因 此外 绪论中还介绍了p o n c e l e t 定理相关研究方面的主要结果以及本文所做的主要工作 在第一章末我们叙述了本文的大致结构 在第二章中 我们主要介绍2 维和3 维情况下 的p o n c e l e t 定理 这其中我们引入了重要的椭圆坐标系以及相应的分离变量的方法 这 是得到椭圆弹子球系统是一个可积系统的关键 这些是c h a n g 和f r i e d b e r g 的工作 在第三章中 我们分别从作用量原理 保长变换以及三维空间到四维空间的推广 这三个不同的角度出发 得到弹子球在m i n k o w s k i 空间中的超平面上反射的一致的定 义 这是我们主要的工作之一 在第四章中 我们首先引入了极点 极面等概念 之后 讨论了弹子球在共焦二次曲面上反射时所具有的性质 在第五章中我们在m i n k o w s k i 空 间中建立了将相应的完全p o n c e l e t 定理 并将该定理推广到a d s 空间和d s 空间上 本 文最后一章是小结和展望 此外 在附录中 我介绍了本人在量子信息理论方面相关的工作 5 第二章2 维与3 维窄问中的p o n c e l e t 定理 第二章2 维与3 维空间中的p o n c e l e t 定理 本章第一节首先引入2 维空间中以椭圆为反射边界的弹子球系统 之后较为详细的 说明了该系统的哈密顿一雅克比方程及其变量分离的基本思想 在本章的第三节中我们 介绍了上述方法在3 维情况下的推广 最后我们介绍了2 维空间上的p o n c e l e t 定理的几 何证明方法以及该定理的高维推广 2 12 维弹子球模型 k e l l y r u b i n o w 9 和s i n a i 1 0 分别讨论了一个自由粒子在2 维空间中的一个椭圆内运 行的情况 当粒子在椭圆内自由运动 而在其边界上又满足相应的反射定律时 我们就 得到一个2 维的椭圆弹子球系统 在这种情况下 他们证明 自由粒子的轨迹存在一散 焦面 该散焦面是与椭圆是共焦的 且对于不同的弹子球路径 该散焦面仅可能是一个 椭圆或是一条双曲线 这种情况还可以被推广到3 维 只是此时与自由粒子轨迹相切的 散焦面会有两个而不是像在2 维情况下只有一个而已 下面我们就对2 维情况下的弹子球系统进行简单的说明 假设在2 维欧氏空间中 我们引入椭圆q 乏a 吾二1 2 1 1 1 音 l 2 1 1 勿 其中a 和b 分别是椭圆q 的两个轴 在不失一般性的情况下 我们假设a 2 b 2 即椭圆 的长轴为2 口 我们说一个弹子球在椭圆的边界上满足反射定律 也就是弹子球的轨迹满足 1 入射路径 出射路径和法线 共面且入射路径和出射路径分布在法线的两侧 2 两路径与法线 的夹角相等 考虑如图1 所示的情况 入射线彳尸在p 点被椭圆的切平面反射 出射线即为船 此时入射线彳尸 出射线胎和切平面的法线 共面 且它们分布在法线 i 的两侧 它们 与法线的夹角是相等 即z a p d l d p b 在这里我们还要注意 对于2 维空间 入射路径 出射路径和法线共面这个条件看 似是多余的 因为此时整个空间仅含一个平面 所以这三条线必定是在一个平面上的 6 西北大学硕士学位论文 但是对于高维空间该条件却是必须的 因为在高维情况下 满足条件2 的路径有无数条 但其中只有一条路径同时满足条件1 和条件2 图l 轨迹a p 在p 点发生反射变为p b a p 与b p 满足反射定律 对于在2 维的椭圆内反射的弹子球 存在一个与该椭圆共焦的二次散交曲面 即 若轨迹4 彳切于一个与反射椭圆q 共焦的二次曲面q 则4 彳在q 上的反射轨迹鸽也 与该二次曲面相切 下面我们就对二次散焦曲面是椭圆或者是双曲线的情况分别进行说明 首先我们引 入与反射椭圆q 共焦的二次曲面q 而x 2 南b v 2 口2 一名 2 一五 7 其中旯为表征该共交曲面的参数 当0 名 b 2 时 上式表示一椭圆 而当b 2 五 口2 时 上式表示一双曲线 我们先考虑散焦二次曲面是椭圆时的情况 假设轨迹4 a 鸽在椭圆q 上的a 点处 相对于该点在椭圆q 上的切平面满足反射定理 将椭圆的两个焦点分别记为e 和五 且 假设轨迹a i a 不经过两焦点之间的连线 之后我们分别做e 和e 关于彳 a 和他的对称 点 并将它们分别记为互7 和e 连接e e 7 和e 鼻 它们分别交弛和 4 a 于c 2 和c l 如图2 所示 由于e 和e 为椭圆q 的焦点 因此我们容易知道e 4 和鸩在a 点也满足反射定 律 而4 彳和鸽也在么点满足反射定律 所以我们有讧么五7 鲳7 彳e 而通过上面互 7 第二章2 维与3 维空间中的p o n c e l e t 定理 和e 的构造我们可以得到彳e 彳e 7 和钙 彳e 因此我们可以知道e e 7 e e 7 而 c l 鼻 c l 曩7 c 2 e c 2 足7 所以ec l c l e e c 2 c 2 鼻 即c 2 和c l 在一个以正和e 为 焦点的椭圆上 而由鼻 和e 7 的构造我们还容易知道 该椭圆是与4 彳和鲍相切的 因为4 彳上不存在第二点q 使得ec l c l 五 e q 啪 这样我们就证明了上面的 命题 图2 散焦曲线为椭圆共焦曲线的情况 当入射轨迹4 么位于互和五之间时 我们会发觉此时4 彳和他仍将与一个和二次 曲面q 共焦的二次曲面相切 只不过此时的二次曲面是双曲线而并非前一种情况下的椭 圆 该命题的证明与散焦曲面是椭圆时的命题的证明是类似的 如图3 所示 分别作焦 点e 和e 关于4 么和他的对称点 我们只需证明e c 2 一c 2 e 五q c 1 互 在此就不再 赘述了 2 22 维椭圆弹子球系统的哈密顿 雅克比方程 对于2 维的椭圆弹子球系统 通过雅克比引入的雅克比坐标我们可以化简边界条件 的具体形式 并能更直观的看出弹子球到底是在哪个面上发生反射的 而它又是与哪个 共焦的二次曲面相切的 在对椭圆弹子球的边界条件以及它的哈密顿主函数的数学形式 进行一定的数学假设之后 我们可以将弹子球的守恒量分离出来 而这些量之间是相互 对易的 这样就可以把椭圆弹子球系统化为一个可积的动力学体系 进一步的我们还可 以得到该体系的各个守恒量 并对弹子球的运动给出一定的动力学描述 本节我们就来 介绍一下这方面的相关问题 1 2 r 西北大学硕士学位论文 图3 散焦曲线为双曲共焦曲线的情况 首先 我们假设弹子球的拉格朗日量为 三 圭 文2 夕2 一y x 少 2 2 1 上式中的v x y 为体系的势函数 对于由 2 2 1 式表示的椭圆边界 势函数v x y 满足 在椭圆内部 v x y 0 2 2 2 a 在椭圆外部 v x o o 2 2 2 b 为了简化边界条件以及使后面的计算方便 我们引入如下的椭圆坐标 x c c o s h p c o s 0 2 2 3 a y c s i n h p s i n 8 2 2 3 b 其中c 兰 丽 即为椭圆焦距的一半 经过这样的坐标变换之后我们可以看到p 为常数的曲线代表了一族椭圆曲线 而口 为常数的曲线则代表了一族双曲线 如图4 所示 这两族曲线是共焦二次曲线 它们具 有公共的焦点 c 0 通过以上的坐标变换 我们可以将 2 2 1 式的拉格朗日量写成以p 和0 为自变量的 形式 三 孚 s i i l l l 2p s i n 2 o p 2 括 一 秒 2 2 4 9 第二章2 维与3 维空间中的p o n c e l e t 定理 而其相应的哈密顿量则为 h 2 c 2 s i n h 2p s i n 2 乡 一1 p p 2 p e 2 y p p 2 2 5 常数 图4 p 为常数的椭圆曲线族和0 为常数的双曲曲线族 这两个曲线族有共同的焦点 此时我们再引入两个雅克比变量矗和五 将p 为常数的椭圆表示为 南 岳 1 b 亿2 固 一十 二一 2 2 6 彳一五一五 一一7 其中彳一五 c 2 c o s h 2 p b a c 2s i n h 2 p 类似的 我们可以将秒为常数的双曲线表示为 石x 2 矗 1 b 一 2 2 7 一 一 2 2 7 彳一丑一丑 7 其中么一五 c 2 c o s 20 曰一五 c 2s i n 28 而雅克比变量五 五相应的定义域为 一 五 b 五 0 时 v 0 2 2 1 l a 当五 s 时 圪 丑 0 2 2 1 3 a 当a e 时 圪 a v o l e 2 2 1 3 b 当 五 时 圪 五 是丑的光滑函数 2 2 1 3 c 在这里我们能看到我们对势函数的假设 2 2 1 3 式在 0 的情况下就能自动转化 为 2 2 1 1 式所表示的边界条件 因此 2 2 1 2 式的假设是合理的 接下来我们考虑体系的哈密顿 雅克比方程 2 坠掣 婴 2a r a 丁2 h b 五 孚 2 去圪 五 口 2 2 1 4 厶一以o a 以一以d 以以一以 上式中的矽即为体系的生成函数 而口则是体系的能量 由于分离变量的需要 我们在 此需要进一步假设 形 五 五 彬 a 十吸 友 2 2 1 5 将 2 2 1 5 式代入 2 2 1 4 式的哈密顿一雅克比方程中去 我们将会得到 2 么一丑 b 一 瓦d w j 2 v a 4 嘲 2 彳枷 b 卅 鲁 2 峨口儿 嬲 2 2 1 6 第二章2 维与3 维空间中的p o n c e l e t 定理 上式中的 是我们新引入的分离变量的常数 因为 2 2 1 6 式的第一个等号的两边依赖 于不同的变量 所以它们必定都等于一个不依赖于a 和如的常数 因此在对势函数和主 函数进行相应假设的基础上 我们可以将变量五和五进行变量分离 相对于变量五和五我们还可以得到它们分别对应的动量 局三署 c 筹耥 2 2 1 7 a 仍兰薏 c 意磊 必 亿2 咖 仍兰荔2 瓦二孤茹丽 z z l 7 b 由于p 和p 都是实的 在考虑到 2 2 8 式之后我们可以得出 五 五 再根据口 和 b 的关系 我们就可以得到以下两种不等价的情况 l 0 矗 o f f b 五 2 2 1 8 a 2 0 b 五 2 2 1 8 b 对于 2 2 1 8 a 式所示的情况 我们发现当五 0 时弹子球在椭圆的边界上发生反射 而当五 时 弹子球则与五 所表征的二次曲线相切 此二次曲线是一个椭圆 并 且该椭圆是与五 0 的椭圆共焦的 在这种情况下 弹子球的轨迹并不通过二次曲线的 焦点之间的连线 因为此时口7 b 类似的 对于 2 2 1 8 b 式所示的情况 当五 0 时弹子球仍在椭圆的边界上发生反射 而当元 时弹子球与五 口7 所表征的二次曲线相切 该二次曲线是一个双曲线 此时 弹子球的轨迹经过二次曲线的焦点之间的连线 因为b 2 2 1 8 式所示的两种情况对应了2 1 节中所述的椭圆弹子球的散焦曲线分别是椭圆 以及双曲线这两种不同的情况 通过 2 2 1 6 式我们可以将变量a 和五进行分离 这样我们就把偏微分方程 2 2 1 4 式化为两个常微分方程 2 2 1 6 式 通过将 2 2 1 6 式积分后我们就能得到生成函数 w 4 五 的明确表达式 而在 2 2 1 4 式中我们已经假设正则变换后的哈密顿量仅仅是变 量口的函数而不含五和也 因此我们可以得到口和口7 这两个独立的守恒量 而这其中 1 2 卫燮鎏型坠 的口就是体系的哈密顿量 因此该体系是一个l i u v i l l e 意义下的可积系统f 1 5 2 3 3 维椭圆弹子球系统的哈密顿 雅克比方程 对于3 维椭球边界的弹子球系统 我们仍然可以使用上一节的方法对其进行分析 对于3 维椭球体 我们可以引进椭圆坐标 五 恐 忍 它们与坐标 x y z 存在以下的关系 工 2 夕2 a a a 一是 爿一以 二二二 二 一i 二 a b 么 c 皇二垒2 垒一五 曰一以 l 二 二 一j b a b c 1 2 一竖一以 c 一五 c 一以 一 i 二 c 一彳 c 一日 其中五 五 以的定义域满足 一 五 c 丑 曰 五 时圪 见 0 当五 一 时t 名 当一 五 时v a 2 是彳的光滑函数 再假设生成函数具有如下的形式 通过恒等式 w 4 丑 以 五 五 呢 乃 一口 五一口 r 友一口 友一 五一丑 五一以 五一五 如一五 我们就能将变量五 五 丑进行分离 2 3 8 牛烈 1 2 3 9 五一a 忍一以 7 2 加锨肛坝c 卅 掣 2 嘲脚 枷 五硼 2 3 1 0 a 2 彳一以 b 一以 c 一4 d w 薹4 2 口 如一口 五一口勺 2 3 1 0 b 2 小似肛姒c 枷 掣 2 毗卅 扣勺 2 3 1 0 c 与2 维情况相类似 在3 维情况下我们仍可以通过积分的方法明确的给出生成函数 w 4 五 以 的具体形式 其中分离变量的参数口是体系的哈密顿量 因此我们仍能得到 一个l i o u v i l l e 意义下的可积系统 1 5 当口 口7 的取值范围不同时 我们可以得到类似 于 2 2 1 8 式的四种不等价的情况 这四种情况分别对应了四组不同的二次散焦曲面 2 42 维及高维情况下的p o n c e l e t 定理 2 4 12 维情况下p o n c e l e t 定理的几何证明 p o n c e l e t 定理在2 维情况下的表述为 若2 维空间中的弹子球在椭圆q 内运动并在 1 4 西北大学硕士学位论文 其表面反射 则必存在一个与椭圆q 共焦的二次曲线q 7 假设弹子球在椭圆上反射p 次 后形成一个封闭的多边形 那么从椭圆q 上的任意点出发且与二次曲线q 7 相切的轨迹在 椭圆q 上反射p 次之后必定形成一个封闭的多边形 我们根据h a r t 构造共焦二次曲线的方法从几何上证明2 维情况下的p o n c e l e t 定理 8 1 首先我们需要引入h a r t 引理 当一条直线乇分别与两个二次曲线q 和q 7 相交于p p 和p 风这四个点时 我们分 别记p p p 3 p 4 处的切平面为 乞 毛 t 4 并将 和t 的交点记为p o 则p 1 2 p 2 p 3 p 4 必 定位于一个由q 和q 7 产生的二次曲线族上 在证明h a r t 引理之前我们首先要说明什么是 由q 和q 7 产生的二次曲线族 对于 二次曲线q 和q 7 我们分别可以用方程q 0 和q 7 0 分别将它们表示出来 而由q 和q 7 的任意现行组合所定义的二次曲线就称为由q 和q 产生的二次曲线族 更明确的说对于 任意实数a 和b 二次曲线a q b q 7 o 就代表了由q 和q 7 产生的二次曲线族 说明了什么是二次曲线族之后我们就能证明h a r t 引理了 我们可以记直线t 满足的 轨迹方程为厶 0 此时二次曲线q 的轨迹方程为 蜀 心厶 2 4 1 1 上式中的a 为某一个适当的常数 同理二次曲线q 7 的轨迹方程也可以写为 焉 以t 厶 2 4 1 2 由 2 4 1 1 式和 2 4 1 2 式我们可以得n 础l 厶 a l 2 厶 2 4 1 3 而上式表示的二次曲线正是由q 和q 7 产生的二次曲线族中的一个 并且我们可以直接验 i t p l 2 p 2 3 p 3 4 p 4 l 四点均在该二次曲线上 由此我们就证明了h a r t 引理 我们还能证明h a r t 引理的逆定理也是成立的 对于给定直线乇上的四点p l p p 3 p 二次曲线q 和q 7 以及q 上的四个点 1 5 第二章2 维与3 维窄间中的p o n c e l e t 定理 p 1 2 p 2 3 p 3 4 p 4 l 若直线p 1 2 p 4 l 和p 2 3 p 3 4 分别切二次曲线o 于p l p 3 则存在另一个二次 曲线o 该二次曲线必定是一个由q 和q 产生的二次曲线 并且直线p p 和p m p 4 分 别切q 于见和风 有了h a r t 引理及其逆定理之后 我们就能考虑如图5 所示的在椭圆上反射的弹子球 问题了 假设由么出发的轨迹在椭圆q 的表面经过连续的p 次反射后形成一个封闭的多 边形a b c z 且该多边形的每一条边都相切于另一个与椭圆q 共焦的二次曲面q 7 那 么我们从椭圆q 上的另一点彳7 发射弹子球 并使其轨迹彳么 一z 7 也与二次曲面q 7 相切 那么根据h a r t 引理我们可以证明连线州 胎7 z z 7 都将与一个二次曲面q 相切 c 彳 图52 维隋况下的p o n c e l e t 定理 根据上面的讨论 我们可以知道当这个弹子球从彳7 出发在q 上反射p 次之后 它的 反射点z 和封闭多边形顶点z 之间的连线仍然是与二次曲面q 相切的 这里我们要注 意h a r t 引理保证了连线州7 胎7 z z 7 于同一个二次曲面相切 此时 再由其中 条轨 道的封闭性条件可知当a z 时我们必定有a 7 z 7 因此从椭圆q 上任意一点出发并与 二次曲面q 7 相切的轨迹在经过p 次反射后必定也会形成一个封闭的多边形 这样我们就 得到了2 维空间中的p o n c e l e t 定理 1 6 西北大学硕士学位论文 从以上的讨论中我们还可以发现 h a r t 引理的证明并不要求二次曲线q 和q 7 是共焦 的 因此我们对2 维空间中的p o n c e l e t 定理中的证明也可以不要求二次曲线q 和q 是共 焦的 而这一性质在3 维情况下却是没有的 2 4 2 高维情况下的p o n c e l e t 定理 对于高维情况 我们不能直接推广2 4 1 节的结果 但我们仍可以得到p o n c e l e t 定 理 因为此时2 2 节和2 3 节中所叙述的分离变量法仍然是成立的 由此我们仍能得到 一个l i o u v i l l e 意义下的可积系统 该系统具有与空间维数相等的守恒量 而且其中一个 守恒量就是体系的哈密顿量 这些守恒量之间的p o i s s o n 括号都为零 此时若我们再假 设存在一个封闭的具有p 条边的p o n c e l e t 多变形p 那么由l i o u v i l l e 定理 1 6 1 我们就能知 道从尸的反射面上的任意一点出发必定存在一个多边形 它的顶点在同一个反射面上 反射p 次后封闭 并且 与原来的多变形尸具有相同散焦曲面 这就是高维情况下的 p o n c e l e t 定理 1 7 第三章 m i n k o w s k i 空间中超平面上的反射 第三章 m i n k o w s k i 空间中超平面上的反射 在第二章中我们考虑的弹子球都是在欧氏空间中运动的 本章我们从三个不同的角 度来看弹子球在m i n k o w s k i 空间中的超平面上反射时所遵循的运动规律 并得到在这些 平面上相应的反射定理 为后面在m i n k o w s k i 空间的二次曲面内及这