建筑力学：结构的动力计算.ppt

第十九章 结构的动力计算 19 1动力计算的特点和动力自由度 一 动力计算的特点 静力荷载 大小 方向和作用位置不随时间而变化的荷载 由它所引起的内力和变形都是确定的 动力荷载 大小 方向和作用位置随时间而变化的荷载 这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略 由它所引起的内力和变形都是时间的函数 简谐荷载 按正余弦规律变化 一般周期荷载 二 动力荷载分类 变化规律及其作用特点 1 周期荷载 随时间作周期性变化 3 随机荷载 非确定性荷载 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定 如地震荷载 风荷载 2 冲击荷载 短时内剧增或剧减 如爆炸荷载 tr P tr P 三 动力计算中体系的自由度 实际结构的质量都是连续分布的 严格地说来都是无限自由度体系 计算困难 常作简化如下 1 集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点 将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数 2个自由度 2个自由度 自由度与质量数不一定相等 m m m梁 m m梁 I I 2I m m柱 厂房排架水平振时的计算简图 单自由度体系 水平振动时的计算体系 多自由度体系 构架式基础顶板简化成刚性块 t v t u t 4个自由度 m1 m2 m3 2个自由度 无限自由度体系 2 广义座标法 如简支梁的变形曲线用三角级数来表示 a1 a2 an 其中 i x 是自动满足位移边界条件的函数结合中任意选取的n个函数 3 有限单元法 将杆件分为若干个单元 19 2单自由度体系的自由振动 自由振动 没有动荷载的作用 要解决的问题包括 建立运动方程 计算自振频率 周期等 一 运动微分方程的建立 方法 达朗伯尔原理 应用条件 微幅振动 1 刚度法 m yj yd 质量m在任一时刻的位移y t yj yd k 力学模型 yd m m W I t 重力W 弹性力 恒与位移反向 惯性力 与加速度反向 惯性力 a 其中kyj W及 上式可以简化为 或 由平衡位置计量 以位移为未知量的平衡方程式 引用了刚度系数 称刚度法 2 柔度法 研究结构上质点的位移 建立位移协调方程 可得与 b 相同的方程 刚度法常用于刚架类结构 柔度法常用于梁式结构 二 自由振动微分方程的解 改写为 其中 它是二阶线性齐次微分方程 其一般解为 积分常数C1 C2由初始条件确定 设t 0时 d 式可以写成 由式可知 位移是由初位移y 引起的余弦运动和由初速度v 引起的正弦运动的合成 为了便于研究合成运动 令 e 式改写成 它表示合成运动仍是一个简谐运动 其中A和 可由下式确定 振幅 相位角 三 结构的自振周期和频率 由式 及图可见位移方程是一个周期函数 周期 工程频率 圆频率 计算频率和周期的几种形式 例1 计算图示结构的频率和周期 例2 计算图示结构的水平和竖向振动频率 例3 计算图示刚架的频率和周期 由截面平衡 四 简谐自由振动的特性 由式 可得加速度为 在无阻尼自由振动中 位移 加速度和惯性力都按正弦规律变化 且作相位相同的同步运动 它们的幅值产生于 时 其值分别为 既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态 在幅值出现时间也一样 于是可在幅值处建立运动方程 惯性力为 例4 计算图示体系的自振频率 解 单自由度体系 以 表示位移参数的幅值 各质点上所受的力为 建立力矩平衡方程 化简后得 19 3单自由度体系的受迫振动 受迫振动 强迫振动 结构在动力荷载作用下的振动 k 弹性力 ky 惯性力 和荷载P t 之间的平衡方程为 单自由度体系强迫振动的微分方程 一 动荷载为简谐荷载 特解 最大静位移yst 是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移 特解可写为 通解可写为 设t 0时的初始位移和初始速度均为零 则 过渡阶段 振动开始两种振动同时存在的阶段 平稳阶段 后来只按荷载频率振动的阶段 由于阻尼的存在 按自振频率振动 按荷载频率振动 平稳阶段 最大动位移 振幅 为 动力系数 为 重要的特性 当 0时 1当01 并且随 的增大而增大 当 1时 振幅会无限增大 称为 共振 通常把0 75 1 25称为共振区 当 1时 的绝对值随 的增大而减小 当 很大时 荷载变化很快 结构来不及反应 例 已知m 300kg EI 90 105N m2 k 48EI l3 P 20kN 80s 1求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩 解 1 求 2 求 3 求ymax Mmax 例 一简支梁 I28b 惯性矩I 7480cm4 截面系数W 534cm3 E 2 1 104kN cm2 在跨度中点有电动机重量Q 35kN 转速n 500r min 由于具有偏心 转动时产生离心力P 10kN P的竖向分量为Psin t 忽略梁的质量 试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力 梁长l 4m 解 1 求自振频率和荷载频率 I22b 3570cm4 3570 39 7 对于本例 采用较小的截面的梁既可避免共振 又能获得较好的经济效益 325 2 求动力系数 175 6MPa 必须特别注意 这种处理方法只适用于单自由度体系在质点上受干扰力作用的情况 对于干扰力不作用于质点的单自由度体系 以及多自由度体系 均不能采用这一方法 39 7 1 35 149 2 设体系在t 0时静止 然后有瞬时冲量S作用 二 外荷载为一般荷载 1 瞬时冲量的动力反应 瞬时冲量S引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动 由动量定理 2 任意荷载P t 的动力反应 时刻的微分冲量对t瞬时 t 引起的动力反应 初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式 Duhamel积分 15 29 初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式 3 几种典型荷载的动力反应 1 突加荷载 yst P0 P0 m 2 2 短时荷载 阶段 0 t u 与突加荷载相同 阶段 t u 无荷载 体系以t u时刻的位移 和速度 为初始条件作自由振动 或者直接由Duhamel积分作 另解 短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成 当0 t u 当t u 1 当u T 2最大动位移发生在阶段 2 当u T 2最大动位移发生在阶段 动力系数反应谱 与T和u之间的关系曲线 3 线性渐增荷载 这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求解 对于这种线性渐增荷载 其动力反应与升载时间的长短有很大关系 其动力系数的反应谱如下 动力系数反应谱 动力系数 介于1与2之间 如果升载很短 tr4T 则 接近于1 即相当于静荷载情况 常取外包虚线作为设计的依据 19 5多自由度体系的自由振动 一 刚度法 1 两个自由度体系 m1 m2 两自由度体系自由振动微分方程 设解为 常数 当然Y1 Y2 0为其解 为了求得不全为零的解 令 特征方程频率方程 1 在振动过程中 两个质点具有相同的频率和相同的相位角 2 在振动过程中 两个质点的位移在数值上随时间而变化 但其比值始终保持不变 1 主振型 2 按主振型振动的条件 初位移或初速度与此振型相对应 m1 m2 最小圆频率称为第一 基本 圆频率 第二圆频率 例7 设图示刚架横梁刚度为无限大 层间侧移刚度分别为k1和k2 试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型 m1 m2 k1 k2 3 一般振动 两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动 多自由度体系自由振动的振型分解 解 1 求频率方程中的刚度系数 k11 k1 k2 k12 k21 k2 k22 k2 2 求频率 代公式 若有 3 求主振型 第1振型 第2振型 二 柔度法 设解为 在自由振动过程中任意时刻t 质量m1 m2的位移y1 t y2 t 应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移 此时惯性力 幅值 主振型的位移幅值等于主振型惯性力幅值作用下产生的静力位移 当然解Y1 Y2 0 为了求得不全为零的解 令 令 主振型 例9 试求图示梁的自振频率和主振型 梁的EI已知 解 1 计算频率 2 振型 第一振型 第二振型 三 主振型及主振型的正交性 整理得 因 则