等差数列的前n项求和公式.ppt

等差数列的前n项求和公式 复习 1 等差数列的通项公式 2 等差数列的性质 数列 a 中m n p q 则am an ap aq 若a1为首项 d为公差 则an a1 n 1 d 当p q时 m n 2p 则am an 2ap 称ap为等差中项 分析 高斯是如何很快的解出其结果的呢 问题 1 2 3 100 引入 首项与末项的和 1 100 101 第2项与倒数第2项的和 2 99 101 第3项与倒数第3项的和 3 98 101 第50项与倒数第50项的和 50 51 101 于是所求的和是 高斯的问题 可以看成是求等差数列1 2 3 n 的前100项的和 求 1 2 3 4 n 如果令Sn 1 2 3 n 2 n 1 n 颠倒顺序得Sn n n 1 n 2 3 2 1 则 倒序相加法 将两式相加2Sn 1 n 2 n 1 n 1 推导 下面对等差数列前n项公式进行推导 设等差数列a1 a2 a3 它的前n项和是Sn a1 a2 an 1 an 1 若把次序颠倒是Sn an an 1 a2 a1 2 由 1 2 得2Sn a1 an a2 an 1 a3 an 2 由等差数列的性质a1 an a2 an 1 a3 an 2 由 1 2 得2Sn a1 an a1 an a1 an 即Sn n a1 an 2 如果代入等差数列的通项公式an a1 n 1 d Sn也可以用首项a1和公差d表示 即Sn na1 n n 1 d 2 所以 等差数列的前n项求和公式是 或 例题 例1等差数列 10 6 2 2 前多少项的和是54 例2已知一个等差数列 an 的前10项的和是310 前20项的和是1220 求等差数列的前n项和的公式例3求集合M m m 7n n是正整数 且m 100 的元素个数 并求这些元素的和 解 将题中的等差数列记为 an Sn代表该数列的前n项和 则有a1 10 d 6 10 4 设数列的前n项和为54 即Sn 54 根据等差数列的前n项求和公式 代入Sn 54 a1 10 d 4整理得 n2 6n 27 0 解得n1 9 n2 3 舍去 因此 等差数列 10 6 2 2 前9项的和是54 解 由题 等差数列的前10项和S10 310 前20项和S20 1220 根据等差数列的前n项求和公式 得 解得a1 4 d 6 因此 等差数列的前n项和的公式是 将此结果代入上面的求和公式 得Sn 4n n n 1 3 3n2 n 解 根据题意 由7n 100得n 100 7 由于满足它的正整数n共有14个 所以集合M中的元素共有14个 即 7 14 21 91 98 这是一个等差数列 各项的和是 因此 集合M中的元素共有14个 它们的和为735 735 由于Sn n a1 an 2整理可得 Sn d 2n2 a1 d 2 其中a1 d均为已知数 若令A d 2 B a1 d 2 则S An2 Bn 将等差数列的前n项和公式写成上述形式 有利于求其前n项和的极值 探究 例1 一个首项为正数的等差数列中 前3项的和等于前11项的和的 问此数列前多少项的和最大 分析 S3 S11 这里可以找出a1与d的关系 则Sn是d的函数 由等差数列构成的函数图象 可知n 3 11 2 7时 Sn最大 即n 7 练习 1 已知a6 a9 a12 a15 192 求S20 2 一个项数为36的数列的前四项和是21 后四项和是67 求这个数列的和 3 an 是等差数列 S10 0 S11 0 则求使an 0的n的最小值 总结 1 推导等差数列前n项和公式的方法 倒序相加法