数学：第7讲《蝴蝶模型》.pdf

五年级数学星队秋季班第七讲 蝴蝶模型 例 1 任意四边形中的蝴蝶模型 1 如图 四边形 ABCD 中 AC 与 BD 相交于点 O 图形中出 现了 4 个小三角形 其中有 3 个 小三角形的面积被标注出来了 请写出第 4 个小三角形的面积 答案 1 5 3 2 1 O D CB A 解析 设所求面积为 x 则根据等高模 型 2AD 或4BC 故 1 5x 2 一个四边形的两条对角线 会将这个四边形分成4个小三角 形 若这 4 个小三角形的面积分 别为 S1 S2 S3 S4 如图 那 么 OA OC S1 S2 S3 S4之间有怎样的关系 S4 S3 S2 S1 O D CB A 答案 1423 OA OCSSSS 1243 SSSS 1423 SSSS 或写作 1324 SSSS 解析 比例式可由等高模型和风筝模 型推出 本题答案即为任意四边 形中的蝴蝶模型的结论 两组 翅膀 各自的面积乘积相等 练一练 如图 某公园的外轮廓是四边形 ABCD 被对角线 AC BD 分成四 个部分 AOB 面积为 1 平方千 米 BOC 面 积 为 2 平方千 米 COD 的面积为 3 平方千米 公园由陆地和人工湖 阴影 组 成 其中陆地面积是 6 92 平方千 米 求人工湖的面积是多少平方 千米 答案 0 58 解析 根据蝴蝶模型 有 AOBCODBOCAOD SSSS 即1 32 BOC S 解得 3 1 21 5 BOC S 平方千米 O D CB A 公园四边形 ABCD 的面积是 123 1 57 5 平方千米 所以人工湖的面积是 7 56 920 58 平方千米 例 2 在三角形 ABC 中 已知 M N 分别在边 AB AC 上 BN 与 CM 相交于点 O 若三角形 MOB BOC CON 的面积分别为 3 2 1 则三角形 AMN 的面积是多 少 1 2 3 O N CB M A 答案 22 5 解析 本题条件较少 需要运用蝴蝶模 型和共边比例模型共同求解 设所求面积为 x 由任意四边形 中的蝴蝶模型可知 3 1 21 5 MON S 又由等高 模型可知 AMCAMN BMCBMN SSAM MBSS 即 2 5 54 5 xx 解得22 5x 例 3 梯形中的蝴蝶模型 如图 梯形 ABCD 中 AD 平行 于 BC 对角线 AC BD 相交于 点 O 4 个小三角形的面积分别 是 S1 S2 S3 S4 1 若 2 2S 3 4S 那么梯形 ABCD 的面积是多少 2 这 4 个小三角形中有没有面 积相等的两个 是哪两个 为 什么它们的面积相等 3 若已知上底ADa 下底 BCb 那么 OA OC OD OB 12 SS 14 SS S4 S3 S2 S1 O D CB A 23 SS 43 SS 13 SS 答案 1 9 2 24 SS 3 除了 最后一个比是 22 ab 其他的比 都是 a b 解析 1 由风筝模型 可知 ABDCBD OA OCSS 根据 等 底等高的三角形面积相等 可知 ABDACD SS CBDCBA SS ACDCBA OA OCSSOD OB 而 23 1 2OA OCSS 故 1 2OD OB 所以 12 1 1 2 SS 43 22SS 故 1243 12249 ABCD SSSSS 2 由于 ABDACD SS 根据 等量 减等量仍为等量 可知 11ABDACD SSSS 即 24 SS 3 承接第 1 问中的分析 由于三 角形 ABD 和三角形 CBD 的高相 等 故其面积之比等于底之比 即 ABDCBD SSAD BCa b 但 在第一问的分析中 我们已经得 到了 ABDCBD SS OA OCOD OB 故知 OA OCOD OBAD BCa b 故 12142343 SSSSSSSSa b 而 131223 SSSSSSa ba b 练一练 如图 已知 ABCD 是平行四边形 四个区域中有三个的面积已在 图中标出 单位 平方厘米 请求出阴影部分的面积 答案 4 平方厘米 解析 连接 AC 根据梯形中的蝴蝶模 型 在梯形 ACED 中 2 8SS 阴影阴影 可知4S 阴影 平 方厘米 F E D CB A 2 8 16 例 4 如图 一个长方形被一些直线分 成了若干个小块 已知三角形 ABG 的面积是 11 三角形 CDH 的面积是 23 请求出四边形 EGFH 的面积 答案 34 解析 连结 EF 显然四边形 ABEF 和 四边形 DCEF 都是梯形 根据梯 形蝴蝶模型中的 翅膀相等 可 23 11 H G F E D CB A 以得到 三角形 EFG 的面积等 于三角形 ABG 的面积 三角形 EFH 的面积等于三角形 CDH 的 面积 所以四边形 EGFH 的面积 是112334 例 5 1 如图 已知大正方形边长 为 10 厘米 请求出阴影部分的 面积 2 如图 已知小正方形边长 为 6 厘米 请求出阴影部分的面 10 积 3 如图 正方形 ABCD 和正 方形 ECGF 并排放置 BF 与 EC 相交于点 H 已知6AB 厘米 则阴影部分的面积是多少平方 厘米 6 H G FE D CB A 6 答案 1 50 平方厘米 2 18 平方 厘米 3 18 解析 1 如下图做出辅助线 易证 两正方形的对角线是相互平行 的 故图形中出现了梯形蝴蝶模 型 根据梯形蝴蝶模型中的 翅 膀相等 可以将阴影面积转化 为大正方形面积的一半 故答案 为10 10250 平方厘米 可见 阴影部分的面积与小正方形的 大小并无关系 10 2 如下图做出辅助线 易证 两正方形的对角线是相互平行 的 故图形中出现了梯形蝴蝶模 型 根据梯形蝴蝶模型中的 翅 膀相等 可以将阴影面积转化 为小正方形面积的一半 故答案 为6 6218 平方厘米 可见 阴影部分的面积与大正方形的 大小并无关系 3 如下图 连接 FD FC 首先利用梯形蝴蝶模型中的 翅 膀相等 将三角形DHC的面积等 积变换成三角形 DHF 的面积 6 则问题变为求三角形 DBF 的面 积 根据上一问的分析可知 再 次利用梯形蝴蝶模型中的 翅膀 相等 可证明 DBFDBC SS 而 6 6218 DBC S 平方厘米 故阴影面积为 18 平方厘米 练一练 如图 ABCD 和 CGEF 是两个正 方形 AG 和 CF 相交于 H 已知 CH 等于 CF 的三分之一 三角 形CHG的面积等于6平方厘米 求五边形 ABGEF 的面积 H G FE D CB A 6 答案 49 5 平方厘米 解析 如图 连接 AC FG 则 AC 平 行于 FG 四边形 ACEG 是梯形 图中数字单位 平方厘米 6 H G FE D CB A 4 5 18 12 3 6 6 H G FE D CB A 结合 1 2CH HF 由梯形蝴蝶 模 型 可 以 得 到 如 下 结 论 6 AHFCHG SS 平 方 厘 米 1 63 2 AHC S 平 方 厘 米 2 612 1 GHF S 平方厘米 故知12618 CFG S 平方厘米 所以 1 18 2 EFGCFGCGEF SSS 平方厘米 大正方形面积为 36 平方厘米 边长为 6 厘米 故知 2HC 厘米 所以在三角形 AHC 中 运用三 角形面积公式可知 3 223AD 厘米 故小正方 形面积为 9 或者可由 AC 是 FG 的一半 同样可以得到得知 D 是 CF 中点 924 5 ABC S 平方厘米 综上 366 12 184 549 5 ABGEF S 平方厘米 例 6 1 如图 正方形 ABCD 中 E 是 BC 边的中点 AE 与 BC 相交 于 G 点 三角形 BEG 的面积为 1 平方厘米 那么正方形 ABCD 面积是多少平方厘米 G E D CB A 答案 12 解析 连接 ED 因为 E 是 BC 边上的 中点 所以 1 2BE AD 根据 梯形蝴蝶模型可以知道 BEGABGDEGADG SSSS 22 1 1 2 1 2 21 2 2 4 又由等高模型知 123 ECDEBD SS 所以 1224312 ABCD S 平方 厘米 2 如图 面积为 12 平方厘米 的正方形 ABCD 中 E F 是 BC 边上的三等分点 求出阴影部分 的面积 答案 3 平方厘米 解析 因为 E F 是 BC 边上的三等分 点 所以 1 3EF AD 设 1 GEF S 份 根据梯形蝴蝶模型 可以知道3 AGEDGF SS 份 9 AGD S 份 又根据等高模型有 1 34 ABEDCFEFD SSS 份 因此正方形的面积为 1 3394424 份 336S 阴影 份 故 6 241 4SS 阴影正方形 所以 F G E D CB A 1243S 阴影 平方厘米 例 7 如图 在一个边长为 6 的正方形 中 放入一个边长为2的正方形 保持与原正方形的边平行 如图 在大正方形与小正方形的一些 顶点之间连线 形成了图中的阴 影图形 请问 阴影部分的面积 是多少 答案 14 解析 本题中小正方形的位置不确定 所以可以通过取特殊值的方法 来快速求解 也可以采用梯形蝴 蝶模型来解决一般情况 解法一 快速解决填空题 取 特殊值 使得两个正方形的中心 相重合 如下图所示 图中四个 空白三角形的高均为 1 5 因此 空白处的总面积为 6 1 52 42 222 阴影部 分的面积为6 62214 解法二 严谨的证明 连接两 个正方形的对应顶点 可以得到 四个梯形 这四个梯形的上底都 为 2 下底都为 6 上底 下底 之比为2 61 3 根据梯形蝴蝶 模型 这四个梯形每个梯形中的 四个小三角形的面积之比为 22 1 1 3 1 3 31 3 3 9 所以 每个梯形中的空白三角形占该 梯形面积的 9 16 阴影部分的面积 占该梯形面积的 7 16 所以阴影部 分的总面积是四个梯形面积之 和的 7 16 故阴影部分的面积为 22 7 62 14 16 例 8 如图 正方形 ABCD 中 E F 分别是 BC CD 上靠近 C 点的三 分点 连接 BF DE 相交于点 G 过 G 点作线段 MN PQ 得 到大 小两个正