南京航空航天大学《高等数学》15无穷大与无穷小.pdf

无穷小无穷小 无穷大无穷大 无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系 1 定义定义 定义 1 如果 定义 1 如果 0 不论它多么小 0 不论它多么小 0 或正数 0 或正数 X 当 当 xX 时 有 时 有 NN 2 1 时恒有当时恒有当Nx 2 2 时恒有当时恒有当Nx max 21 NNN 取 取 恒有时当恒有时当 Nx 22 0 x 注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 是无穷小 时例如是无穷小 时例如 n n 1 1 1 不是无穷小之和为个但不是无穷小之和为个但 n n 定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证证内有界 在设函数内有界 在设函数 10 0 xUu 0 0 0 101 Mu xxM 恒有 时使得当则 恒有 时使得当则 0 0 0 202 M xx 恒有 时使得当 恒有 时使得当 min 21 取 取恒有时则当恒有时则当 0 0 xx uu M M 0 为无穷小时当为无穷小时当 uxx 0时的无穷小 是当又设时的无穷小是当又设xx 推论推论1 在同一过程中在同一过程中 有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小乘积是无穷小 推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小 x x x xx 1 arctan 1 sin 0 2 时当例如 时当例如 都是无穷小都是无穷小 定义 2 如果对于任意给定的正数定义 2 如果对于任意给定的正数M 不论它多么 小 总存在正数 不论它多么 小 总存在正数 或正数 或正数X 使得对于适合不等 式 使得对于适合不等 式 xX 的一切 的一切x 所对应的函 数值 所对应的函 数值 xf都满足不等式 都满足不等式 Mxf 则称函数 则称函数 xf当当 0 xx 或 或 x 时为无穷大 记作 时为无穷大 记作 lim lim 0 xfxf xxx 或或 绝对值无限增大的变量称为无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大 二 无穷大二 无穷大 特殊情形 正无穷大 负无穷大 特殊情形 正无穷大 负无穷大 lim lim 00 xfxf x xx x xx 或或 注 注 无穷大是变量无穷大是变量 不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量 但是无 界变量未必是无穷大 但是无 界变量未必是无穷大 xx y 1 sin 1 1 sin 1 0 但不是无穷大是一个无界变量 时当例如 但不是无穷大是一个无界变量 时当例如 xx yx 3 2 1 0 2 2 1 1 n n xn取取 2 2 nxy n Mxyn n 充分大时当 充分大时当 3 2 1 0 2 1 2 n n xn取取 可以任意小充分大时当可以任意小充分大时当 n xn nnxy n 2sin2 但但 0M 证证 M 1 1 M x 要使 要使 1 1 M x 只要 只要 1 M 取 取 1 10时当时当 M x 就有 就有 1 1 lim 1 x x lim 0 0 的图形的铅直渐近线 是函数则直线如果定义 的图形的铅直渐近线 是函数则直线如果定义xfyxxxf xx 1 1 x y 定理4 在同一自变量变化过程中 无穷大的倒数 为无穷小 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 定理4 在同一自变量变化过程中 无穷大的倒数 为无穷小 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 证证 lim 0 xf xx 设设 1 0 0 0 0 xf xx 恒有 时使得当 恒有 时使得当 1 xf 即即 1 0 为无穷小时当为无穷小时当 xf xx 三 无穷小与无穷大的关系三 无穷小与无穷大的关系 0 0 lim 0 xfxf xx 且设反之且设反之 1 0 0 0 0 M xf xxM 恒有 时使得当 恒有 时使得当 1 M xf 从而 从而 1 0 为无穷大时当为无穷大时当 xf xx 0 xf由于由于 意义意义关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论 1 主要内容 主要内容 两个定义两个定义 四个定理四个定理 三个推论三个推论 2 几点注意 几点注意 无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1 无穷小 大 是变量 无穷小 大 是变量 不能与很小 大 的数混 淆 零是唯一的无穷小的数 不能与很小 大 的数混 淆 零是唯一的无穷小的数 2 无穷多个无穷小的代数和 乘积 未必是无穷小 2 无穷多个无穷小的代数和 乘积 未必是无穷小 3 无界变量未必是无穷大 无界变量未必是无穷大 四 小结四 小结 思考思考 下列正确的是 若 下列正确的是 若 0 lim 1 nn n yx 发散 发散则 发散 发散则 nn yxA必为无穷小 有界 必为无穷小 有界 nn yxB 必有界 无界 必有界 无界 nn yxC 为无穷小 为无穷小则 为无穷小 为无穷小则 n n y x D 1 B 是时 变量当是时 变量当 x x x 1 sin 1 0 2 A 无穷小 无穷小 B 无穷大 无穷大 C 有界但不是无穷小 有界但不是无穷小 D 无界但不是无穷大 无界但不是