南京航空航天大学《高等数学》111常数项级数的概念及.pdf

1 为常数 几何级数如无穷等比级数 为常数 几何级数如无穷等比级数 aararara n 2 n 10 3 1000 3 100 3 10 3 3333 0 3 1 看作是一无穷级数如此外无限循环小数可以 看作是一无穷级数如此外无限循环小数可以 无穷级数这一概念无穷级数这一概念 我们在中学中就已涉及过我们在中学中就已涉及过 重要工具 数值计算的表示函数的一种新方法无穷级数 重要工具 数值计算的表示函数的一种新方法无穷级数 2 级数的概念 基本性质 级数的概念 基本性质 收敛的必要条件收敛的必要条件 3 1 其和是什么无限项能否相加的形式 是无穷项和级数有限项相加是数我们知道 其和是什么无限项能否相加的形式 是无穷项和级数有限项相加是数我们知道 即记作级数常数项简称 常数项 无穷级数 叫做则 已知 即记作级数常数项简称 常数项 无穷级数 叫做则 已知 1 21 21 n k n nn u uuu uuuu 1 21 1 n n n uuuu 一 级数的概念 1 级数的定义 一 级数的概念 1 级数的定义 一般项或通项一般项或通项 定义定义 4 1 21 的部分和级数 的部分和级数 nn uuus 1 项和的前作级数项和的前作级数n 21 212 11 部分和数列 即 部分和数列 即 n nn s uuus uus us 2 级数的收敛与发散 2 级数的收敛与发散 3 2 1 n sn得数列时当得数列时当 5 即 常数项级数收敛 发散 即 常数项级数收敛 发散 n n s lim存在 不存在 存在 不存在 n n n ssu 收敛时 当收敛时 当 1 余项余项nn ssr 21nn uu 1i in u 即 即 ssn 误差为 误差为 n r 0lim n n r n s对于对于 lim 1 发散则称级数不若发散则称级数不若 n nn n us lim 1 收敛则称级数若收敛则称级数若 n nn n uss 称为这级数的和 称为这级数的和 s 定义定义 称这级数没有和称这级数没有和 6 1 2 1 1 1 1 1 1 1 r a rna r r ra S n n n 1 1 1 lim r r r a sn n 不不 0 2 0 的敛散性 讨论等比级数 的敛散性 讨论等比级数 aarararaar n n n 例例1 解解 发散当收敛 其和为当 等比级数结论 发散当收敛 其和为当 等比级数结论 1 1 1 0 0 m m 例例4 证明证明 16 证明证明 1n n us 1 nnn ssu则则 1 limlimlim n n n n n n ssu ss 0 级数收敛的必要条件 级数收敛的必要条件 三 收敛的必要条件三 收敛的必要条件 0lim 1 nn uuu收敛级数收敛级数 17 1 逆命题不成立 必要条件不充分 1 逆命题不成立 必要条件不充分 但级数发散有但级数发散有 0lim n n u n 1 3 1 2 1 1例如调和级数例如调和级数 2 如果级数的一般项不趋于零 则级数发散 2 如果级数的一般项不趋于零 则级数发散 发散发散 不不 n n uilim111111 0 1 1 1 1 1 e n u n ii n n n n 发散发散 注 18 小结小结 1 由定义 若1 由定义 若ssn 则级数收敛 则级数收敛 2 当2