方差分析讲义.ppt

方差分析 单因子方差分析双因子方差分析 等重复和无重复 或 有交互和无交互 例1设有两台机器 用来生产规格相同的铝合金薄板 取样 测量薄板的厚度精确至千分之一厘米 得结果如下表所示 在每一个水平下进行独立试验 结果是一个随机变量 问题分析 检验假设 其拒绝域的形式为 例2不同的教学方法对考试平均分的影响是否显著 试验指标 考试平均分 因素 教学方法 水平 不同的三种方法是因素的三个不同的水平 例3一火箭用四种燃料 三种推进器作射程试验 每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次 得射程如下 以海里计 问不同燃料 不同推进器对射程的影响是否显著 交互作用是否显著 试验指标 射程 因素 推进器和燃料 水平 推进器有3个 燃料有4个 双因素试验 试验目的 考试平均分 例4试分析不同地区不同教学方法对考试平均分的影响是否显著 方差分析 根据试验的结果进行分析 鉴别各个有关因素对试验结果的影响程度 试验指标 试验中要考察的指标 因素 影响试验指标的条件 因素 可控因素 不可控因素 水平 因素所处的状态 单因素试验 在一项试验中只有一个因素改变 多因素试验 在一项试验中有多个因素在改变 在每一个水平下进行独立试验 结果是一个随机变量 例1 问题分析 将数据看成是来自三个总体的样本值 检验假设 检验假设 进一步假设各总体均为正态变量 且各总体的方差相等 但参数均未知 问题 检验同方差的多个正态总体均值是否相等 解决方法 方差分析法 一种统计方法 误差平方和 随机误差 效应平方和 随机误差 系统误差 总变异 组内变异 组间变异其中 组内变异由个体差异或者说由误差引起的 组间变异由各因素所引起 拒绝域为 单因素试验方差分析表 下面检验假设 拒绝域形如 拒绝域为 数学模型 假设 单因素试验方差分析的数学模型 需要解决的问题 1 检验假设 数据的总平均 总偏差平方和 总变差 二 平方和的分解得到方差分析表 误差平方和 随机误差 效应平方和 随机误差 系统误差 总变异 组间变异 组内变异其中 组间变异由各因素所引起 组内变异由个体差异或者说由误差引起的 下面检验假设 拒绝域形如 拒绝域为 单因素试验方差分析表 例4设有三台机器 用来生产规格相同的铝合金薄板 取样 测量薄板的厚度精确至千分之一厘米 得结果如下表所示 解 方差分析表 各机器生产的薄板厚度有显著差异 单因素方差分析表spss 方差相等检验 可以检验不同因素对观察变量产生了显著影响 判断哪个组和其他组有显著的均值差别 方法是两两作比 不同组的方差不同时选择 认为三个组总体方差相等 方差齐性的检验 至少一个组和其他组有显著差别 两两作比 二 双因素等重复试验的方差分析 r 4 s 3 t 2 要解决的问题 检验假设 确定拒绝域 表双因素试验的方差分析表 双因素等重复试验方差分析表spss 三 双因素无重复试验的方差分析 检验两个因素的交互效应 对两个因素的每一组合至少要做两次试验 如果已知不存在交互作用 或已知交互作用对试验的指标影响很小 则可以不考虑交互作用 对两个因素的每一组合只做一次试验 也可以对各因素的效应进行分析 双因素无重复试验的方差分析 双因素无重复试验方差分析表spss 二 双因素等重复试验的方差分析 理论 模型假设 记号 要解决的问题 检验假设 分解平方和得到方差分析表 确定拒绝域 表9 9双因素试验的方差分析表 三 双因素无重复试验的方差分析 检验两个因素的交互效应 对两个因素的每一组合至少要做两次试验 如果已知不存在交互作用 或已知交互作用对试验的指标影响很小 则可以不考虑交互作用 对两个因素的每一组合只做一次试验 也可以对各因素的效应进行分析 双因素无重复试验的方差分析 假设 检验假设 双因素无重复试验的方差分析表 例2下面给出了在某5个不同地点 不同时间空气中的颗粒状物 以mg m3计 的含量的数据 设本题符合模型中的条件 试在显著性水平为0 05下检验 在不同时间下颗粒状物含量的均值有无显著差异 在不同地点下颗粒状物含量的均值有无显著差异 结论 时间和地点对颗粒物的含量均有显著影响 在MATLAB中的求解 函数 anova1 格式 p anova1 x 说明 对样本X中的多列数据进行单因素方差分析 比较各列的均值 返回 零假设 成立的概率值 如果概率值接近于零 则零假设值得怀疑 表明各列的均值事实上是不同的 源程序 x 0 236 0 238 0 248 0 245 0 243 0 257 0 253 0 255 0 254 0 261 0 258 0 264 0 259 0 267 0 262 p anova1 x 程序运行结果 p 1 3431e 005 无偏估计 五 未知参数的估计 例5 解 例6下表列出了随机选取的 用于计算器的四种类型的电路的响应时间 以毫秒计 设四种类型电路的响应时间的总体均为正态 且各总体的方差相同 但参数均未知 各样本相互独立 在MATLAB中求解 x 19 22 20 18 15 20 40 21 33 27 16 17 15 18 26 18 22 19 y 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 p anova1 x y 结果 例一火箭使用四种燃料 三种推进器作射程试验 每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次 得射程如下 以海里计 不同燃料 不同推进器下的射程是否有显著差异 二 双因素等重复试验的方差分析 例一火箭使用四种燃料 三种推进器作射程试验 每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次 得射程如下 以海里计 不同燃料 不同推进器下的射程是否有显著差异 在MATLAB中求解 函数 anova2 格式 p anova2 x reps 说明 执行平衡的双因素试验的方差分析来比较x中两个或多个列或行的均值 不同列的数据代表某一因素的差异 不同行的数据代表另一因素的差异 如果每行列对有多于一个的观察值 则变量reps指出每一单元观察点的数目 每一单元包含reps行 源程序 a 58 2 56 2 65 3 52 6 41 2 60 8 49 1 54 1 51 6 42 8 50 5 48 4 60 1 70 9 39 2 58 3 73 2 40 7 75 8 58 2 48 7 71 5 51 0 41 4 p anova2 a 2 运行结果 p 0 00350 02600 0001 对结果的解释 p 0 00350 02600 0001 各试验均值相等的概率均为小概率 故可拒绝相等假设 认为不同燃料或不同推进器下的射程有显著差异 即燃料和推进器这两个因素对射程的影响都是显著的 并且交互作用效应是高度显著的 因此在实际工作中应该选择最优的搭配方式 例如A4与B1 射程为75 8 71 5或者A3与B2 射程为73 2 70 9 例