大学物理之电磁10.pdf

1 静电场环路定理静电场环路定理 0ldE vv 求电势的方法求电势的方法 电势叠加 定义 c a a l dE vv 电势电势 q Wa a c a l dE vv 点电荷场电势分布点电荷场电势分布 r q r 0 4 C为电势零点为电势零点 均匀均匀带电球面的电势带电球面的电势 0 4 Q R R r 电势定义法 线积分法 电势定义法 线积分法 电势定义法 线积分法 电势定义法 线积分法 场源分布场源分布 分布E v 0 c U令 选择积分路径选择积分路径 a U c a ac lEU vv d 实际问题中 常选地球 的电势为零 电势差与 电势的零点选取无关 实际问题中 常选地球 的电势为零 电势差与 电势的零点选取无关 对电荷连续分布的带电体对电荷连续分布的带电体 有有 VV r q UU 0 4 d d 1 积分对场源电荷所在空间进行 积分对场源电荷所在空间进行 2 电势零点在无限远处 电势零点在无限远处 3 电势叠加为标量叠加 电势叠加为标量叠加 在重力场中 等势 面为一水平面 地形图 即为等势线图 在重力场中 等势 面为一水平面 地形图 即为等势线图 一 等势面一 等势面 同样同样 在静电场中在静电场中 电 势相等的点所组成的面称 为等势面 电 势相等的点所组成的面称 为等势面 8 4电势梯度电势梯度 举例举例 1 3 2 并且并且 1223 x y zC 满足方程 满足方程 二 等势面的性质二 等势面的性质 1 电荷沿等势面移动时电荷沿等势面移动时 电场力作功为零电场力作功为零 电荷电荷q 沿等势面由沿等势面由 a b a b b a ab l dEqA rr 证明 证明 2 电力线与等势面正交电力线与等势面正交 0 ab A 证明证明 又因为又因为ldEqAab rr cosdlqE 所以所以 0cos dl r E r E r 1 2 3 0 ba q 2 1 2 3 4 规定规定 画等势面时画等势面时 相邻等势 面电势差相等 相邻等势 面电势差相等 1223 5 推论推论 等势面密度大的地方场强大 等势面密度小的地方场强小 等势面密度大的地方场强大 等势面密度小的地方场强小 E r 3 电力线总是指向电势降落的方向电力线总是指向电势降落的方向 如图如图 1 2 3 点点点点 电电电电 荷荷荷荷 的的的的 等等等等 势势势势 面面面面 1 dl 2 dl 12 ddll 12 EE rr 三 三 电场强度与电势梯度电场强度与电势梯度 场强分布场强分布 电势分布电势分布 a a E dl rr 电势分布电势分布 场强分布场强分布 1 推导推导 l r nd r E r l dr a b ba 规定规定 等势面等势面正法向正法向为为 电势升高电势升高的方向的方向 则则 dlE cos ab E dl rr abba d 0 a b 有限带电体有限带电体 则则 cosEdl ndr E r l r a b ldr a b d cos d E dl 所以所以 又因为又因为 l EE cos 场强在场强在 l 方向上的投影方向上的投影 l E l 物理意义物理意义 电场强度在电场强度在 l 方向的分量值等于 电势沿该方向变化率的负值 方向的分量值等于 电势沿该方向变化率的负值 场强沿等势面法线方向 场强沿等势面法线方向 d En dn v n d EE dn 考虑方向考虑方向 则 则 在直角坐标系中在直角坐标系中k z j y i x n dn d vvv E r z E y E Z Y x Ex k z j y i x rrr 梯度算符梯度算符 kEjEiEE ZYx vvvr l El Q 2 电势梯度电势梯度 过电场中任意一点 沿不同方向其电势随距离 的变化率一般是不等的 过电场中任意一点 沿不同方向其电势随距离 的变化率一般是不等的 沿某一方向 等势面法线方向 其电势随距离的 沿某一方向 等势面法线方向 其电势随距离的变化率最大变化率最大 此最大值称为该点的 此最大值称为该点的电势梯度电势梯度 dn d 电势梯度是一个矢量 电势梯度是一个矢量 用用 grad 表示表示 方向为该点附近电势 升高最快的方向 方向为该点附近电势 升高最快的方向 k z j y i x vvr 电场中任意一点的电场强度 等于该点电势梯度的负值 电场中任意一点的电场强度 等于该点电势梯度的负值 E r 电场中某点的场强只与该点电势梯度有关 只有在 电势处处不变的空间各点 场强才等于零 但是电势值 为零的地方 场强不一定为零 反之 场强为零的地方 电势也不一定为零 电场中某点的场强只与该点电势梯度有关 只有在 电势处处不变的空间各点 场强才等于零 但是电势值 为零的地方 场强不一定为零 反之 场强为零的地方 电势也不一定为零 3 3 由电势求场强的一般步骤 由电势求场强的一般步骤 a 先求出空间的先求出空间的电势分布电势分布 b 再利用再利用场强和电势的关系场强和电势的关系求场强求场强 ijk xyz rrr 的意义的意义 场强场强的方向与的方向与电势梯度电势梯度的方向的方向相反相反 垂直于等势面垂直于等势面 沿着沿着电势降低最快电势降低最快的方向的方向 Egrad r 电势梯度的单位电势梯度的单位 C N m V 场强的单位场强的单位 求的三种方法求的三种方法 E v 利用电场强度叠加原理 利用高斯定理 利用电势与电场强度的关系 利用电场强度叠加原理 利用高斯定理 利用电势与电场强度的关系 总结总结 E r 为求电场强度提供了一种新的途径为求电场强度提供了一种新的途径 E v 例 例6 已知 已知 电势分布电势分布 4x 6xy2 10y2 求求 x 2 y 3 处处 E r 解解 利用利用 Eij xy rrr jyxyiy rr 2012 64 2 5812Eij rrr E r Eijk xyz rrrr 中的中的 号号 注意注意 将将x 2 y 3 代入代入 得 得 例 例7 已知圆盘半径为 已知圆盘半径为R 电荷面密度为电荷面密度为 应用电势梯 度的概念 应用电势梯 度的概念 求均匀带电圆盘轴线上一点求均匀带电圆盘轴线上一点P的场强 的场强 X R r dr x P dE 解 取半径为解 取半径为r 宽度为 宽度为 dr的 圆环 圆环上电量为 的 圆环 圆环上电量为 dq 2 rdr 22 0 4xr dq d 它在它在P点的电势为 点的电势为 整个带电圆盘在整个带电圆盘在P点的电势点的电势 d x d E dx 即为即为P点的场强点的场强 X R r dr x P dE R xr rdr 022 0 2 2 22 0 xxR 2 22 0 xxR dx d 1 2 22 0 xR x R xr dq 022 0 4 例 例8 长为 长为L 均匀带电为均匀带电为Q的细棒的细棒 如图示 求 如图示 求z 轴上一点轴上一点P 0 a 的电势 及场强的 的电势 及场强的z 轴分量 轴分量 解 解 z L x a p 将棒分成无数小段 其中任一 小段 将棒分成无数小段 其中任一 小段dx距离坐标原点距离坐标原点x 如图示如图示 22 0 4ax dq d L p ax dx d 022 0 4 a aLL 22 0 ln 4 p a aLL L Q 22 0 ln 4 dxx 则则 dx段电荷在段电荷在 P点产生电势为 点产生电势为 整个均匀带电细棒整个均匀带电细棒在在P点产生电势为 点产生电势为 4 p z zLL L Q 22 0 ln 4 棒在棒在z轴任一点轴任一点P 产生电势 产生电势 z Ez 22 0 1 4 zL z Q 但但Ex 0 例 例9 已知一点电荷的电势为 已知一点电荷的电势为 r q 0 4 求求 任一点的场强 解 球坐标系中 任一点的场强 解 球坐标系中 e r e r e r r sin 1 1 r E v r dr d r r q 4 2 0 r r q 4 2 0 z L x a p dxx 求场强的方法求场强的方法 高斯定理 场强叠加原理 高斯定理 场强叠加原理 求电势的方法求电势的方法 P P E dl vv电势零点 定义 电势叠加 静电场中沿等势面法线方向其电势随距离的 静电场中沿等势面法线方向其电势随距离的变化率 最大 变化率 最大 此最大值称为该点的 此最大值称为该点的电势梯度电势梯度 电场中任意一点的电场强度 等于该点电势梯度的负值 电场中任意一点的电场强度 等于该点电势梯度的负值 E r 第第第第9 9章章章章 静电场中的导体静电场中的导体静电场中的导体静电场中的导体 9 1 导体的静电平 衡条件 导体的静电平 衡条件 9 3 有导体存在时 静电场的分析 与计算 有导体存在时 静电场的分析 与计算 9 2 静电平衡的导 体上的电荷分 布 静电平衡的导 体上的电荷分 布 9 4 静电屏蔽静电屏蔽 9 5 唯一性定理唯一性定理 第9章静电场中的导体第9章静电场中的导体 本节要研究的问题本节要研究的问题电场与导体的相互作用 影响 电场与导体的相互作用 影响 与电场相互作用的物质与电场相互作用的物质 1 导体 1 导体 conductor 存在大量的可conductor 存在大量的可自由移动自由移动的电荷的电荷 2 绝缘体 2 绝缘体 insulator insulator 电介质电介质 dielectricdielectric 理论上认为一个自由移动的电荷也没有的物体理论上认为一个自由移动的电荷也没有的物体 3 半导体3 半导体 semiconductor 介于上述两者之间 semiconductor 介于上述两者之间 静电场 场量静电场 场量 E r 基本性质方程基本性质方程 0 L ldE rr 0 i i S q sdE 内 r r 金属导体具有带负电的自由电子 和带正电的晶格点阵 当导体不带电也不受外电场的作 用时 两种电荷在导体内均匀分布 没有宏观移动或者说电荷并没有作定 向运动 这时 只有微观的热运动存 在 因此 在任意划取微小体积元 内 自由电子的负电荷和晶体点阵上 的正电荷的数目相等 整个导体或其 中任一部分都显现电中性 金属导体的电结构金属导体的电结构 静电平衡 静电平衡 9 1 9 2 1 金属导体与电场的相互作用1 金属导体与电场的相互作用 特征 导体内存在大量的自由电子特征 导体内存在大量的自由电子 无外场时 无 规运动 无外场时 无 规运动 0 E r E r 在外场中 无规运动宏观定向运动 在外场中 无规运动宏观定向运动 0 E r 静电感应 静电感应 在电场力作用下 导体中自由电子作宏观定 向运动 使电荷产生重新分布的现象 在电场力作用下 导体中自由电子作宏观定 向运动 使电荷产生重新分布的现象 一 导体的静电感应和静电平衡一 导体的静电感应和静电平衡 5 由于静电感应由于静电感应 导体 导体表面产生感应电荷导体表面产生感应电荷 问题问题 静电感应能 否一直进行下去 静电感应能 否一直进行下去 不能不能 0 E r E r 0 总 E r 电荷移动电荷移动 导体 0 E r 金属球放入前金属球放入前 电场为一均匀场电场为一均匀场 E0 由于静电感应由于静电感应 金属球放入后电力线 发生弯曲 金属球放入后电力线 发生弯曲 电场变为一非均匀场电场变为一非均匀场 E 导体导体内部内部和和表面表面均无均无自由电荷自由电荷的的定向移动定向移动 1 是一种是一种动态平衡动态平衡 2 静电平衡2 静电平衡 说明 静电平衡 说明 静电平衡 2 只改变导体电荷分布只改变导体电荷分布 不改变其总电量不改变其总电量 3 达到静电平衡的过程很快达到静电平衡的过程很快 10 10 8 8s s 静电平衡状态静电平衡状态 总结 静电平衡过程总结 静电平衡过程总结 静电平衡过程总结 静电平衡过程 自由电子作宏 观定向运动 导体 自由电子作宏 观定向运动 导体 外电场作用下外电场作用下 电荷重新分布电荷重新分布 导体表面一端带负电 电子 堆积 另一端带正电 缺少 电子 感应电荷感应电荷 自由电子宏观 定向运动停止 自由电子宏观 定向运动停止 0 0 EEE vvv 内 抵消抵消 附加电场附加电场 二 导体的静电平衡条件二 导体的静电平衡条件 1 场强描述场强描述 0 内 E 导体 导体内部场强内部场强处处为零 导体 处处为零 导体表面的场强表面的场强处处垂直于导体表面处处垂直于导体表面 2 电势描述电势描述 整个导体整个导体是等势体 是等势体 导体表面导体表面是等势面 导体静电平衡时 导体各点电势相等 是等势面 导体静电平衡时 导体各点电势相等 6 0 E r E r 导体 E r 导体 电荷移动电荷移动反证法反证法 证明证明 1 0 内 E c 2 a b ba b ab a E dl rr 0 3 导体表面场强处处与导体表面垂直导体表面场强处处与导体表面垂直 由电力线的性质可知由电力线的性质可知 电力线总是垂直于等势面电力线总是垂直于等势面 ldr 因为 导体表面是等势面 所以 因为 导体表面是等势面 所以 导体表面场强处处与导体表面垂直导体表面场强处处与导体表面垂直 1 导体体内处处不带电1 导体体内处处不带电 0 S SdE rr qdV i i V 0 0 证明 在导体内任取体积元证明 在导体内任取体积元 dV 由高斯定理 Q体积元任取 由高斯定理 Q体积元任取 证毕证毕 0 内 E dV 导体带电只能在表面导体带电只能在表面 三 静电平衡时导体上电荷的分布 三 静电平衡时导体上电荷的分布 静电平衡条件静电平衡条件 静电场的基本性质静电场的基本性质 2 导体2 导体面电荷密度面电荷密度和和场强场强的关系的关系 zyx zyxE表 r 设设 面电荷面密度 场强 面电荷面密度 场强 导体导体 P sdr 导体表面导体表面 1 静电平衡时1 静电平衡时实心导体实心导体上电荷的分布上电荷的分布 zyx zyxE表 r S SdE rr dSSdS SdESdE rrrr 表 dSE表 0 dS 0 表 E 导体导体 设设 面电荷密度 场强 面电荷密度 场强 P sdr n 外法线方向 外法线方向 nE 0 表 r 写作写作 导体表面导体表面 1 无限大均匀 带电面的场强 无限大均匀 带电面的场强 0 2 表 E 导 体 导 体 P sdr 2 导体表面附近 一点的场强 导体表面附近 一点的场强 0 表 E 思考思考 1 1 尖锐部分尖锐部分 曲率是正值且较大 电荷 曲率是正值且较大 电荷面密度较大面密度较大 2 2 平坦部分平坦部分 曲率较小 电荷 曲率较小 电荷面密度较小面密度较小 3 表面 3 表面凹进部分凹进部分带电带电面密度最小面密度最小 C 3 孤立带电导体表面电荷分布3 孤立带电导体表面电荷分布 电荷分布 电荷分布 实验实验 孤立带电 导体球 孤立带电 导体球 尖端放电尖端放电尖端放电尖端放电 对于有尖端的带电导体 尖端处 电荷面密度大 则导体表面邻近 处电场强度也特别大 当电场强 度达到足以使空气电离时 就会 产生空气的放电现象 称为 对于有尖端的带电导体 尖端处 电荷面密度大 则导体表面邻近 处电场强度也特别大 当电场强 度达到足以使空气电离时 就会 产生空气的放电现象 称为尖端 放电 尖端 放电 7 应用应用 1 范得革拉夫起电器范得革拉夫起电器 2 避雷针避雷针 3 高压输电线 高压用电器 的接口 高压输电线 高压用电器 的接口 4 静电除尘 静电喷漆 避雷针 静电除尘 静电喷漆 避雷针 实心导体 实心导体 电荷只分布在电荷只分布在导体外表面导体外表面 1 腔内腔内无无带电体 带电体 电荷只电荷只分布分布在在导体导体外表面外表面 导体 导体内部内部及腔体的及腔体的内表面内表面处处处处无净电荷无净电荷 2 静电平衡静电平衡时时空腔导体空腔导体上的电荷分布上的电荷分布 Q 假设假设 高斯面高斯面 由高斯定理由高斯定理 0 i i S q SdE 内 vv 导体内场强 导体内场强E 0E 0 导体内处处无电荷 导体内处处无电荷 假设内表面有净电荷 则必有电力线 如图 假设内表面有净电荷 则必有电力线 如图 0l dE vv 与静电平衡下导体为等势体相矛盾 与静电平衡下导体为等势体相矛盾 内表面上亦处处无电荷内表面上亦处处无电荷 引 入 引 入 q 后后 2 腔内腔内有有电荷电荷q 腔体带有腔体带有Q q q Q q 引 入 引 入 q 前前 Q 总结总结 2 导体表面附近的场强导体表面附近的场强 静电平衡时的导体特点静电平衡时的导体特点 0 En r 表 3 电荷只分布在电荷只分布在导体的导体的内外内外表面表面 导体内部无导体内部无净净电荷电荷 E内 内 0 C 1 内部场强处处为零内部场强处处为零 整个导体是等势体整个导体是等势体 腔内 腔外 腔内 腔外 讨论的问题是 讨论的问题是 1 腔内 外表面电荷分布特征腔内 外表面电荷分布特征 2 腔内 腔外空间电场特征 导体壳的 几何结构 腔内 腔外空间电场特征 导体壳的 几何结构 腔内 腔外 内表面 外表面 腔内 腔外 内表面 外表面 内表面内表面 外表面外表面 9 4 静电屏蔽静电屏蔽 electrostatic shielding 1 腔内无带电体腔内无带电体 q Q 1 导体壳是否带电 2 腔外是否有带电体 1 导体壳是否带电 2 腔外是否有带电体 注意 未提及的问题 注意 未提及的问题 说明 说明 腔内的场与腔外腔内的场与腔外 包括壳的外表面 包括壳的外表面 电量及分布无关电量及分布无关 0 带电体 壳外内 表面电量 壳外内 EE rr 在外表面以内在外表面以内 结论 结论 不管金属球壳内有无电荷不管金属球壳内有无电荷 金属球壳外表面和壳外带 电体所带电荷在外表面以内所产生的电场等于零 金属球壳外表面和壳外带 电体所带电荷在外表面以内所产生的电场等于零 内表面处处没有电荷内表面处处没有电荷 腔内无电场 即 腔内无电场 即 E腔内 腔内 0 或说 或说 腔内电势处处相等腔内电势处处相等 2 腔内有带电体 腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量 腔内有带电体 腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量q等 量异号 腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定 等 量异号 腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定 腔外 导体和电场不影响腔内电场 腔外 导体和电场不影响腔内电场 腔内的电场 腔内的电荷和腔内表面所带电荷在腔的内表面以外 产生的电场为零 腔内的电场 腔内的电荷和腔内表面所带电荷在腔的内表面以外 产生的电场为零 结论 结论 导体空腔接地时导体空腔接地时 腔外的场腔外的场与与腔外带电体腔外带电体 腔的 外表面电荷 腔的 外表面电荷及及腔外腔外的几何因素 介质有关的几何因素 介质有关 与腔内电荷 无关 与腔内电荷 无关 a 与电量与电量q q及位置有关 或者说 及位置有关 或者说 0EE rr 外 壳的外 壳内 内表面电量的带电体 在腔的内表面以外在腔的内表面以外 b 与腔内带电体 几何因素 介质有关 与腔内带电体 几何因素 介质有关 8 3 静电屏蔽的装置3 静电屏蔽的装置 在静电平衡状态下 空腔导体外面的带电体 不会影响空腔内部的电场分布 一个 在静电平衡状态下 空腔导体外面的带电体 不会影响空腔内部的电场分布 一个接地接地的空腔 导体 空腔内的带电体对腔外的物体不会产生影响 的空腔 导体 空腔内的带电体对腔外的物体不会产生影响 这种使导体空腔内的电场不受外界的影响或利用 接地的空腔导体将腔内带电体对外界的影响隔绝 的现象 称为 这种使导体空腔内的电场不受外界的影响或利用 接地的空腔导体将腔内带电体对外界的影响隔绝 的现象 称为静电屏蔽静电屏蔽 应用 静电均压服 高压带电作业 高压设备外的接地金属壳 微波传输线芯外网状金属罩 应用 静电均压服 高压带电作业 高压设备外的接地金属壳 微波传输线芯外网状金属罩 R B l dE rr 例 导体A和B同心放置 如图 例 导体A和B同心放置 如图 A B q R R q 0 4 欲求壳欲求壳B的电势 只需知壳外表面 的带电量和球壳 的电势 只需知壳外表面 的带电量和球壳B的外半径 则 的外半径 则 c L ldE0 rr i i constQ 9 3 有导体存在时静电场的分析与计算有导体存在时静电场的分析与计算 原则 原则 1 静电平衡的条件 2 基本性质方程 3 电荷守恒定律 1 静电平衡的条件 2 基本性质方程 3 电荷守恒定律 或或 ns EEE 0 内内 0 i i S q sdE 内 r r 例1 无限大的带电平面的场中 平行放置一无限大金属平板 求 金属板两面电荷面密度 例1 无限大的带电平面的场中 平行放置一无限大金属平板 求 金属板两面电荷面密度 21 P 21 0 222 0 2 0 1 0 2 1 1 2 1 2 解 设金属板面电荷密度解 设金属板面电荷密度 21 由电量守恒由电量守恒 1 1 导体体内任一点P场强为零导体体内任一点P场强为零 x 0 2 0 1 2 0 2 2 2 2 由由 1 2 可得 可得 例 例2 已知 已知 金属球A与金属球壳B同心放置金属球A与金属球壳B同心放置 求 1 电量分布求 1 电量分布 A B o 0 R q 12 RR Q 2 球2 球A A 和壳和壳B B 的电势的电势 解 1 导体带电在表面解 1 导体带电在表面 球A的电量只可能在球的表面 壳B电量分布在内 外两个表面 球A的电量只可能在球的表面 壳B电量分布在内 外两个表面 由于A B同心放置 仍维持球对称由于A B同心放置 仍维持球对称 电量在表面均匀分布电量在表面均匀分布 球 A半径为球 A半径为R0 带电为 带电为q 金属壳B内外半径分别为金属壳B内外半径分别为 R1 R2 带电量 带电量Q 9 qQQB 外 qQB 内 B A o q qQ 相当于均匀带电的球面相当于均匀带电的球面 qQ