湖南省娄底市名校联考高三数学上学期9月联考试卷 理（含解析）.doc

湖南省娄底市名校 联考2015届高三上学期9月联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1（5分）若集合a=x|y=2x，集合，则ab=（）a（0，+）b（1，+）cc（1，0）（0，1d（1，0）（0，1）3（5分）设a，br，则“ab”是“a|a|b|b|”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件4（5分）已知角的终边上一点的坐标为（），角的最小正值为（）abcd5（5分）函数y=12sin2（x）是（）a最小正周期为的奇函数b最小正周期为的偶函数c最小正周期为的奇函数d最小正周期为的偶函数6（5分）已知函数f（x）=sinx的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对应的函数解析式为（）aby=f（2x1）cd7（5分）函数f（x）=（）a在（，）上递增b在（，0）上递增，在（0，）上递减c在（，）上递减d在（，0）上递减，在（，0）上递增8（5分）在边长为1的正三角形abc中，=x，=y，x0，y0，且x+y=1，则的最大值为（）abcd9（5分）如图，过原点的直线l与圆x2+y2=1交于p，q两点，点p在第一象限，将x轴下方的图形沿x轴折起，使之与x轴上方的图形成直二面角，设点p的横坐标为x，线段pq的长度记为f（x），则函数y=f（x）的图象大致是（）abcd10（5分）已知函数f（x）=|loga|x1|（a0，a1），若x1x2x3x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则=（）a2b4c8d随a值变化二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11（5分）下列结论：若命题p：xr，tanx=1；命题q：xr，x2x+10则命题“pq”是假命题已知直线l1：ax+3y1=0，l2：x+by+1=0则l1l2的充要条件为命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1则x23x+20”；其中正确结论的序号为12（5分）已知点（3，1）和（4，6）在直线3x2ya=0的两侧，则a的取值范围是13（5分）已知|=2，为单位向量，当，的夹角为时，+在上的投影为14（5分）已知函数f（x）=log3（a3x）+x2，若f（x）存在零点，则实数a的取值范围是15（5分）对于定义在d上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2，使得对任意xd都有kx+m1f（x）kx+m2恒成立，则称函数f（x）（xd）有一个宽度为d的通道给出下列函数：f（x）=；f（x）=sinx；f（x）=；f（x）=其中在区间三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）16（12分）已知命题p：函数f（x）为（0，+）上单调减函数，实数m满足不等式f（m+1）f（32m）命题q：当x，函数m=sin2x2sinx+1+a若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围17（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）若对任意x，使得m+2=0恒成立，求实数m的取值范围18（12分）如图，过点（0，a3）的两直线与抛物线y=ax2相切于a、b两点，ad、bc垂直于直线y=8，垂足分别为d、c（1）若a=1，求矩形abcd面积；（2）若a（0，2），求矩形abcd面积的最大值19（13分）已知函数f（x）满足，其中a0且a1（1）对于函数f（x），当x（1，1）时，f（1m）+f（1m2）0，求实数m的取值集合；（2）当x（，2）时，f（x）+30恒成立，求a的取值范围20（13分）已知矩形纸片abcd中，ab=6cm，ad=12cm，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点b落在矩形的边ad上，且折痕mn的两端点m、n分别位于边ab、bc上，设mnb=，mn=l（1）试将l表示成的函数；（2）求l的最小值21（13分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）（1）当a=4时，求函数f（x）在上的最大值及相应的x值；（2）当x时，讨论方程f（x）=0根的个数（3）若a0，且对任意的x1，x2，都有，求实数a的取值范围湖南省娄底市名校联考2015届高三上学期9月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1（5分）若集合a=x|y=2x，集合，则ab=（）a（0，+）b（1，+）cc（1，0）（0，1d（1，0）（0，1）考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：根据函数的解析式得，对数的真数大于0，分母不等于0，二次根式的被开方数大于或等于0，列出不等式组，求解集即可解答：解：函数y=+，；解得1x0，或0x1；函数y的定义域是（1，0）（0，1）故选：d点评：本题考查了求函数定义域的问题，列出函数解析式有意义时满足的不等式组，是求定义域的关键3（5分）设a，br，则“ab”是“a|a|b|b|”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论解答：解：若ab，ab0，不等式a|a|b|b|等价为aabb，此时成立0ab，不等式a|a|b|b|等价为aabb，即a2b2，此时成立a0b，不等式a|a|b|b|等价为aabb，即a2b2，此时成立，即充分性成立若a|a|b|b|，当a0，b0时，a|a|b|b|去掉绝对值得，（ab）（a+b）0，因为a+b0，所以ab0，即ab当a0，b0时，ab当a0，b0时，a|a|b|b|去掉绝对值得，（ab）（a+b）0，因为a+b0，所以ab0，即ab即必要性成立，综上“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件，故选：c点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键4（5分）已知角的终边上一点的坐标为（），角的最小正值为（）abcd考点：终边相同的角 专题：计算题分析：将点的坐标化简，据点的坐标的符号判断出点所在的象限，利用三角函数的定义求出角的正弦，求出角的最小正值解答：解：=角的终边在第四象限到原点的距离为1的最小正值为故选d点评：已知一个角的终边上的一个点求角的三角函数值，应该利用三角函数的定义来解决5（5分）函数y=12sin2（x）是（）a最小正周期为的奇函数b最小正周期为的偶函数c最小正周期为的奇函数d最小正周期为的偶函数考点：三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：利用二倍角公式化简函数的解析式为y=sin2x，从而得出结论解答：解：=cos（2x）=cos（2x）=sin2x，故函数y是最小正周期为的奇函数，故选：a点评：本题主要考查二倍角公式的应用，正弦函数的周期性和奇偶性，属于中档题6（5分）已知函数f（x）=sinx的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对应的函数解析式为（）aby=f（2x1）cd考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：作图题分析：先由图象的周期进行排除不符合的选项，再结合函数的图象所过的特殊点进行排除错误的选项，从而找出正确的选项即可解答：解：由已知图象可知，右图的周期是左图函数周期的，从而可排除选项c，d对于选项a：，当x=0时函数值为1，从而排除选项a故选：b点评：本题主要考查了三角函数的图象的性质的应用，考查了识别图象的能力，还要注意排除法在解得选择题中的应用7（5分）函数f（x）=（）a在（，）上递增b在（，0）上递增，在（0，）上递减c在（，）上递减d在（，0）上递减，在（，0）上递增考点：复合三角函数的单调性 专题：三角函数的图像与性质分析：利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，可得函数为偶函数，当 0x时，函数f（x）=tanx，是增函数，故函数在（，0）上递减，从而得出结论解答：解：函数f（x）=，f（x）=f（x），故此函数为偶函数由于当 0x时，函数f（x）=tanx 单调递增，故函数在（，0）上递减，故选d点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，函数的奇偶性的性质，正切函数的单调性，属于中档题8（5分）在边长为1的正三角形abc中，=x，=y，x0，y0，且x+y=1，则的最大值为（）abcd考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算 专题：综合题；压轴题分析：根据，可得=1+，利用x0，y0，且x+y=1，可求的最大值解答：解：由题意，=1+x0，y0，且x+y=1xy1+=1+当且仅当x=y=时，取等号当x=y=时，的最大值为故选b点评：本题考查向量知识的运用，考查向量的加法，考查向量的数量积，考查基本不等式的运用，综合性强9（5分）如图，过原点的直线l与圆x2+y2=1交于p，q两点，点p在第一象限，将x轴下方的图形沿x轴折起，使之与x轴上方的图形成直二面角，设点p的横坐标为x，线段pq的长度记为f（x），则函数y=f（x）的图象大致是（）abcd考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：先建立函数关系式，再选择图象解答：解：设p（x，y），q（x，y），分别过点p、q作x轴的垂线，垂足分别为a（x，0），b（x，0），折成直二面角后，（0x1），其图象是双曲线的一部分故选：b点评：本题考查建立函数关系式与识图能力，属中档题，一般先尝试建立函数关系式，这也是关键所在，再选择正确图象10（5分）已知函数f（x）=|loga|x1|（a0，a1），若x1x2x3x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则=（）a2b4c8d随a值变化考点：对数的运算性质 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得，g（x）的图象关于直线x=1对称，由已知条件推导出x1+x4=2，x2+x3+=2再由logax1=logax2，logax3=logax4，从而求得的值解答：解：设g（x）=|loga|x|，则g（x）为偶函数，图象关于y轴对称，而函数f（x）=|loga|x1|是把g（x）的图象向右平移一个单位得到的，故g（x）的图象关于直线x=1对称x1x2x3x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），x1+x4=2，x2+x3=2再由函数f（x）的图象特征可得，logax1=logax2，logax3=logax4，（x11）（x21）=1，得x1x2=x1+x2，得+=1，同理可得=1，=2故选：a点评：本题考查函数零点和方程根的关系，根据函数的解析式求得函数的对称性是解题的关键，属中档题二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11（5分）下列结论：若命题p：xr，tanx=1；命题q：xr，x2x+10则命题“pq”是假命题已知直线l1：ax+3y1=0，l2：x+by+1=0则l1l2的充要条件为命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1则x23x+20”；其中正确结论的序号为考点：复合命题的真假；四种命题 专题：证明题；探究型分析：若命题p：存在xr，使得tanx=1；命题q：对任意xr，x2x+10，则命题“p且q”为假命题，可先判断两个命题的真假再由且命题的判断方法判断其正误已知直线l1：ax+3y1=0，l2：x+by+1=0则l1l2的充要条件为，由两直线垂直的条件进行判断命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1则x23x+20”，由四种命题的定义进行判断；解答：解：若命题p：存在xr，使得tanx=1；命题q：对任意xr，x2x+10，则命题“p且q”为假命题，此结论正确，对两个命题进行研究发现两个命题都是真命题，故可得“p且q”为假命题已知直线l1：ax+3y1=0，l2：x+by+1=0则l1l2的充要条件为，若两直线垂直时，两直线斜率存在时，斜率乘积为，当a=0，b=0时，此时两直线垂直，但不满足，故本命题不对命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1则x23x+20”，由四种命题的书写规则知，此命题正确；故答案为点评：本题考查复合命题的真假以及四种命题，正确求解本题的关键是对命题涉及到的相关知识有着比较熟练的掌握，这样才能准确快速的做出判断12（5分）已知点（3，1）和（4，6）在直线3x2ya=0的两侧，则a的取值范围是7a24考点：二元一次不等式（组）与平面区域 专题：不等式的解法及应用分析：点（3，1）和点（4，6）在直线3x2ya=0的两侧，那么把这两个点代入3x2ya，它们的符号相反，乘积小于0，求出m的值解答：解：因为点（3，1）和点（4，6）在直线3x2ya=0的两侧，所以，（33+21a）0，即：（a+7）（a24）0，解得7a24故答案为：7a24点评：本题考查二元一次不等式组与平面区域问题，点与直线的位置关系，是基础题13（5分）已知|=2，为单位向量，当，的夹角为时，+在上的投影为考点：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的含义与物理意义 专题：平面向量及应用分析：利用数量积运算、投影的意义即可得出解答：解：+在上的投影为：=故答案为：点评：本题考查了数量积运算、投影的意义，属于基础题14（5分）已知函数f（x）=log3（a3x）+x2，若f（x）存在零点，则实数a的取值范围是f（x）=其中在区间，满足0f（x）1，该函数在区间，满足1f（x）1，该函数在区间，满足0f（x）1，该函数在区间，函数m=sin2x2sinx+1+a若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：集合；简易逻辑分析：先根据已知条件求出命题p，q下的m的取值范围：m，根据命题p是q的充分不必要条件得到，从而求得a的取值范围解答：解：命题p：根据已知条件得：，解得，即m；命题q：x，sinx，m=sin2x2sinx+1+a=（sinx1）2+a；当sinx=1时，m取最小值a，当sinx=0时，m取最大值1+a，所以m；命题p是q的充分不必要条件，所以；，解得；点评：考查根据函数的单调性解不等式，配方法求二次函数的值域，子集的概念17（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）（1）求f（x）的值域和最小正周期；（2）若对任意x，使得m+2=0恒成立，求实数m的取值范围考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x+）+，易得值域和最小正周期；（2）由x可得sin（2x+），进而可得f（x）=2sin（2x+），由题意可得m的不等式组，解之可得解答：解：（1）化简可得f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+=2sin（2x+）+1sin（2x+）1f（x）的值域为，最小正周期为t=（2）当x时，2x+，sin（2x+）f（x）=2sin（2x+）由m+2=0知m0，f（x）=，即2，解得m1即实数m的取值范围是点评：本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题18（12分）如图，过点（0，a3）的两直线与抛物线y=ax2相切于a、b两点，ad、bc垂直于直线y=8，垂足分别为d、c（1）若a=1，求矩形abcd面积；（2）若a（0，2），求矩形abcd面积的最大值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的概念及应用分析：（1）设出直线与曲线的切点，求出导数后写出切线方程的点斜式，把已知点（0，a3）代入切线方程，求出两个切点的横坐标，从而得到矩形abcd的长和宽，则面积即可用含a的代数式表示，把a=1代入后可求矩形面积；（2）对（1）中求出的面积表达式求导，利用导数判出函数在（0，2）上的单调性，求出函数在（0，2）上的极值，则最值可求解答：解：（1）设切点为（x0，y0），则，因为y=2ax，所以切线方程为yy0=2ax0（xx0），即，因为切线过点（0，a3），所以，即，于是x0=a将x0=a代入得所以ab=2a，bc=8a3，所以矩形abcd面积为s=16a2a4，当a=1时，矩形abcd的面积s=161214=14；（2）由（1）得：矩形abcd面积为s=16a2a4（0a2），则s=168a3=8（2a3）所以当时，s0；当时，s0；故当时，s有最大值为s=点评：本题考查利用导数求曲线上过某点的切线方程，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的极值，是中档题19（13分）已知函数f（x）满足，其中a0且a1（1）对于函数f（x），当x（1，1）时，f（1m）+f（1m2）0，求实数m的取值集合；（2）当x（，2）时，f（x）+30恒成立，求a的取值范围考点：指数函数综合题 专题：计算题分析：（1）由已知中函数f（x）满足，我们可以利用换元法求出函数的解析式，进而判断出函数的奇偶性，和单调性，根据函数的性质我们可以将不等式f（1m）+f（1m2）0化成一个关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案（2）若当x（，2）时，f（x）+30恒成立，故我们可将f（x）+30恒成立，转化为一个关于a的不等式恒成立问题，解答后，即可求出a的取值范围解答：解：（1）令logax=t，则x=at，（2分）即y=f（x）为奇函数（2分）a1时 f（x）0f（x）为定义域上减函数0a1时f（x）0f（x）为定义域上减函数综上f（x）为定义域上减函数（2分）f（1m）+f（1m2）0f（1m）f（1m2）奇函数f（1m）f（m21）减函数（2分）（2）y=f（x）为减函数（2分）若f（x）+30恒成立，即f（2）+30（1分）（1分）点评：本题考查的知识点是指数函数综合应用，函数的单调性、奇偶性的综合应用，其中熟练掌握函数的性质，将题目中的不等式转化为熟知的不等式式并进行解答是本题的关键20（13分）已知矩形纸片abcd中，ab=6cm，ad=12cm，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点b落在矩形的边ad上，且折痕mn的两端点m、n分别位于边ab、bc上，设mnb=，mn=l（1）试将l表示成的函数；（2）求l的最小值考点：函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义 专题：应用题分析：（1）将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点b落在矩形的边ad上，则mnemnb，em+bm，由mnb=，mn=l由ab=6cm，我们可得em+am=6，然后将em与bm分别用含的式子表示，代入即可得到l表示成的函数的解析式（2）根据（1）的结论，分析角的取值范围，利用导数法求出函数的单调性，进而求出l的最小值解答：解：（）由题设，如图所示，nbmnem，mnb=，mn=l，aem=902，则mb=lsin，am=lsinsin（902），由题设得：am+mb=lsin+lsinsin（902）=6，从而得，即：，由得：，故：l表示成的函数为：，（）（）设：sin=t则u=t（1t2）=tt3，即u=tt3，u=13t2令u=0，得当时，u0，当时，u0，所以当时，u取到最大值：，l的最小值为点评：在求实际问题对应的函数的解析式，我们一定要进一步分析自变量的取值范围，这不仅是为了让函数的解析式更准确，而且为利用函数的解析式求函数的值域，最值、单调性、奇偶性等打好基础21（13分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）（1）当a=4时，求函数f（x）在上的最大值及相应的x值；（2）当x时，讨论方程f（x）=0根的个数（3）若a0，且对任意的x1，x2，都有，求实数a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明 专题：导数的综合应用分析：（1）把a=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在上的最大值及相应的x值；（2）把原函数f（x）=alnx+x2求导，分a0和a0讨论打哦函数的单调性，特别是当a0时，求出函数f（x）