高考数学一轮复习 7.5 数学归纳法课件 理 新人教B版.ppt

7 5数学归纳法 2 知识梳理 考点自测 1 数学归纳法的定义一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取第一个值n0 n0 n 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当n 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 k 1 3 知识梳理 考点自测 2 数学归纳法的框图表示 4 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 1 判断下列结论是否正确 正确的画 错误的画 1 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n 1时结论成立 2 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数都增加了一项 4 用数学归纳法证明问题时 必须用上归纳假设 5 用数学归纳法证明等式 1 2 22 2n 2 2n 3 1 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 23 答案 5 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 2 在用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n n 3 条时 第一步检验第一个值n0等于 a 1b 2c 3d 0 答案 解析 6 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 3 在用数学归纳法证明不等式 n 2 n n 的过程中 由n k到n k 1时 左边增加了 a 1项b k项c 2k 1项d 2k项 答案 解析 7 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 4 用数学归纳法证明34n 1 52n 1 n n 能被8整除时 当n k 1时 对于34 k 1 1 52 k 1 1可变形为 a 56 34k 1 25 34k 1 52k 1 b 34 34k 1 52 52kc 34k 1 52k 1d 25 34k 1 52k 1 答案 解析 8 知识梳理 考点自测 2 3 4 1 5 5 用数学归纳法证明1 第一步要证的不等式是 答案 解析 9 考点1 考点2 考点3 考点4 例1求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n n 答案 10 考点1 考点2 考点3 考点4 思考用数学归纳法证明等式的注意点有哪些 解题心得用数学归纳法证明等式的注意点 1 用数学归纳法证明等式问题 要 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是多少 2 由n k时等式成立 推出n k 1时等式成立 一要找出等式两边的变化 差异 明确变形目标 二要充分利用归纳假设 进行合理变形 正确写出证明过程 3 不利用归纳假设的证明 就不是数学归纳法 11 考点1 考点2 考点3 考点4 答案 12 考点1 考点2 考点3 考点4 例2若函数f x x2 2x 3 定义数列 xn 如下 x1 2 xn 1是过点p 4 5 qn xn f xn 的直线pqn与x轴的交点的横坐标 其中n n 试运用数学归纳法证明 2 xn xn 1 3 13 考点1 考点2 考点3 考点4 14 考点1 考点2 考点3 考点4 思考具有怎样特征的不等式可用数学归纳法证明 证明的关键是什么 解题心得1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 若用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 证明的关键是 由n k时命题成立证n k 1时命题也成立 在归纳假设使用后可运用比较法 综合法 分析法 放缩法等来加以证明 充分应用均值不等式 不等式的性质等放缩技巧 使问题得以简化 15 考点1 考点2 考点3 考点4 答案 16 考点1 考点2 考点3 考点4 例3用数学归纳法证明 42n 1 3n 2能被13整除 其中n n 答案 17 考点1 考点2 考点3 考点4 思考用数学归纳法证明整除问题的基本思路是什么 解题心得证明整除问题的关键是 凑项 即采用增项 减项 拆项和因式分解等手段 将n k 1时的式子凑出n k时的情形 从而利用归纳假设使问题获证 18 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练3 2017陕西西安模拟 试证 当n n 时 f n 32n 2 8n 9能被64整除 答案 19 考点1 考点2 考点3 考点4 例4设数列 an 的前n项和为sn 满足 n n 且s3 15 1 求a1 a2 a3的值 2 求数列 an 的通项公式 解 1 由sn 3n2 4n 得s2 4a3 20 s3 s2 a3 5a3 20 又s3 15 a3 7 s2 4a3 20 8 s2 s1 a2 2a2 7 a2 3a2 7 a2 5 a1 s1 2a2 7 3 综上知a1 3 a2 5 a3 7 20 考点1 考点2 考点3 考点4 2 由 1 猜想an 2n 1 n n 以下用数学归纳法证明 当n 1时 猜想显然成立 假设当n k k n 且k 2 时 有ak 2k 1成立 则sk 3 5 7 2k 1 即当n k 1时 猜想成立 由 知 数列 an 的通项公式为an 2n 1 n n 21 考点1 考点2 考点3 考点4 思考解决 归纳 猜想 证明 问题的一般思路是什么 哪些问题常用该模式解决 解题心得解决 归纳 猜想 证明 问题的一般思路是 通过观察有限个特例 先猜想出一般性的结论 再用数学归纳法证明 这种方法在解决探索性问题 存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用 22 考点1 考点2 考点3 考点4 1 当n 1 2 3时 试比较f n 与g n 的大小关系 2 猜想f n 与g n 的大小关系 并给出证明 23 考点1 考点2 考点3 考点4 24 考点1 考点2 考点3 考点4 1 数学归纳法是一种重要的数学思想方法 只适用于与正整数有关的命题 2 用数学归纳法证明的关键在于两