协方差与相关系数.ppt

随机变量的协方差与相关系数 开课系 环科院环境工程 经管院物流管理徐林 数计学院 3 3协方差 相关系数一 协方差定义与性质 1 协方差定义 P129 若r v X的期望E X 和Y的期望E Y 存在 则称Cov X Y E X E X Y E Y 为X与Y的协方差 易见Cov X Y E XY E X E Y 当Cov X Y 0时 称X与Y不相关 X与Y独立 和 X与Y不相关 有何关系 例2设 X Y 在D X Y x2 y2 1 上服从均匀分布 求证 X与Y不相关 但不是相互独立的 证 X与Y不相关 而 故 X与Y不独立 2 协方差性质 1 Cov X Y Cov Y X 2 Cov X X D X Cov X c 0 3 Cov aX bY abCov X Y 其中a b为常数 证 Cov aX bY E aXbY E aX E bY abE XY aE X bE Y ab E XY E X E Y abCov X Y 4 Cov X Y Z Cov X Z Cov Y Z 证 Cov X Y Z E X Y Z E X Y E Z E XZ E YZ E X E Z E Y E Z Cov X Z Cov Y Z 5 D X Y D X D Y 2Cov X Y 证 由方差性质 3 的证明过程有 注 D X Y D X Y D X D Y 2Cov X Y 方差与协方差的定义 期望 方差 协方差的性质对比 不相关与独立 切比雪夫不等式 期望 方差 协方差的性质对比 EX 设随机变量X B 12 0 5 Y N 0 1 Cov X Y 1 求V 4X 3Y 1与W 2X 4Y的方差与协方差 二 相关系数 1 定义若r v X Y的方差和协方差均存在 且DX 0 DY 0 则 称为X与Y的相关系数 注 若记 称为X的标准化 易知EX 0 DX 1 且 2 相关系数的性质 1 Corr X Y 1 2 Corr X Y 1 存在常数a b使P Y aX b 1 3 X与Y不相关 Corr X Y 0 1 设 X Y 服从区域D 0 x 1 0 y x上的均匀分布 求X与Y的相关系数 EX D 1 x y 解 D 1 Corr X Y 的大小反映了X与Y之间的线性关系 注意点 Corr X Y 接近于1 X与Y间正相关 Corr X Y 接近于 1 X与Y间负相关 Corr X Y 接近于0 X与Y间不相关 没有线性关系 以上EX的结果说明了什么 EX2 解1 2 例3设 X Y 的联合分布列为 求X Y的相关系数 解 0 同理 3 4 E Y E X 0 另一方面 1 8 1 8 1 8 1 8 0 所以 Cov X Y 即Corr X Y 0 E Y2 E X2 3 4 E XY E X E Y 0 例4 X Y p x y 求X Y的相关系数 解 7 6 5 3 所以 Var X Var Y 11 36 4 3 二维正态分布的特征数 1 X N 1 12 Y N 2 22 2 参数 为X和Y的相关系数 4 不相关与独立等价 随机向量的数学期望与协方差阵 定义3 4 3记 称 则 为 的协方差阵 记为 或 定理3 4 2协方差阵对称 非负定 协方差阵的性质 称 注意点 为 的相关矩阵 课堂练习1 设X N 0 1 Y N 0 1 D X Y 0 求 X Y 的协差阵 课堂练习2 设X Y的协差阵为 求相关阵R 对二维随机变量 X Y 在给定Y取某个值的条件下 X的分布 在给定X取某个值的条件下 Y的分布 3 5条件分布与条件期望 1 条件分布列 3 5 1条件分布 2 条件密度函数 3 条件分布函数 3 5 2条件数学期望 定义3 5 4 E X Y y 是y的函数 注意点 所以记g y E X Y y 进一步记g Y E X Y 重期望公式 定理3 5 1 4 4矩 协方差矩阵 1 K阶原点矩Ak E Xk k 1 2 而E X k 称为X的K阶绝对原点矩 2 K阶中心矩Bk E X E X k k 1 2