全国高校自主招生数学模拟试卷十五 新人教版.doc

2013年高考数学全国高校自主招生模拟试卷十五 新人教版一选择题(每小题5分，共30分)1若m=(x，y)| |tanpy|+sin2px=0，n=(x，y)|x2+y22，则mn的元素个数是（ ）(a)4 (b)5 (c)8 (d)92已知f(x)=asinx+b+4(a，b为实数)，且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ）(a)-5 (b)-3 (c)3 (d)随a，b取不同值而取不同值3集合a，b的并集ab=a1，a2，a3，当ab时，(a，b)与(b，a)视为不同的对，则这样的(a，b)对的个数是（ ） （a）8 （b）9 （c）26 （d）274若直线x=被曲线c:(x-arcsina)(x-arccosa)+(y-arcsina)(y+arccosa)=0所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是( ) (a) (b) (c) (d)p5在abc中，角a，b，c的对边长分别为a，b，c，若c-a等于ac边上的高h，则sin+cos的值是( ) (a)1 (b) (c) (d)-16设m，n为非零实数，i为虚数单位，zc，则方程|z+ni|+|z-mi|=n与|z+ni|-|z-mi|=-m在同一复平面内的图形(f1，f2为焦点)是( )二、填空题（每小题5分，共30分）1二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i为虚数单位，lr)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为_2实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设 s=x2+y2，则+=_3若zc，arg(z2-4)= ，arg(z2+4)= ，则z的值是_.4整数的末两位数是_.5设任意实数x0x1x2x30，要使log1993+log1993+log1993klog1993恒成立，则k的最大值是_.6三位数(100，101，l，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_张卡片三、（本题满分20分）三棱锥sabc中，侧棱sa、sb、sc两两互相垂直，m为三角形abc的重心，d为ab的中点，作与sc平行的直线dp证明：(1)dp与sm相交；(2)设dp与sm的交点为d，则d为三棱锥sabc的外接球球心四、（本题满分20分）设0a0，故选a6设m，n为非零实数，i为虚数单位，zc，则方程|z+ni|+|z-mi|=n与|z+ni|-|z-mi|-m在同一复平面内的图形(f1，f2为焦点)是( )解：方程为椭圆，为双曲线的一支二者的焦点均为(ni，mi)，由n0，故否定a，由于n为椭圆的长轴，而c中两个焦点与原点距离(分别表示|n|、|m|)均小于椭圆长轴，故否定c由b与d知，椭圆的两个个焦点都在y轴负半轴上，由n为长轴，知|of1|=n，于是m0，|of2|=m曲线上一点到ni距离大，否定d，故选b二、填空题（每小题5分，共30分）1二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i为虚数单位，lr)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为_解：即此方程没有实根的条件当r时，此方程有两个复数根，若其有实根，则x2+x+1=0，且x2x=0相减得(+1)(x+1)=0当=1时，此二方程相同，且有两个虚根故=1在取值范围内当1时，x=1，代入得=2即=2时，原方程有实根x=1故所求范围是22实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设 s=x2+y2，则+=_解：令x=rcos，y=rsin，则s=r2得r2(45sincos)=5s=+=+=3若zc，arg(z2-4)= ，arg(z2+4)= ，则z的值是_.解：如图，可知z2表示复数4(cos120+isin120) z=2(cos60+isin60)=(1+i)4整数的末两位数是_.解：令x=1031，则得=x23x+9由于0x1x2x30，要使log1993+log1993+log1993klog1993恒成立，则k的最大值是_.解：显然1，从而log19930即+就是(lgx0lgx1)+(lgx1lgx2)+(lgx2lgx3)( +)k其中lgx0lgx10，lgx1lgx20，lgx2lgx30，由cauchy不等式，知k9即k的最大值为96三位数(100，101，l，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_张卡片解：首位与末位各可选择1，6，8，9，有4种选择，十位还可选0，有5种选择，共有454=80种选择但两端为1，8，中间为0，1，8时，或两端为9、6，中间为0，1，8时，倒后不变；共有23+23=12个，故共有(8012)2=34个三、（本题满分20分）三棱锥s-abc中，侧棱sa、sb、sc两两互相垂直，m为三角形abc的重心，d为ab的中点，作与sc平行的直线dp证明：(1)dp与sm相交；(2)设dp与sm的交点为，则为三棱锥sabc的外接球球心 证明： dpsc，故dp、cs共面 dc面dpc， mdc，m面dpc，sm面dpc 在面dpc内sm与sc相交，故直线sm与dp相交 sa、sb、sc两两互相垂直， sc面sab，scsd dpsc， dpsdddmcsm， m为abc的重心， dmmc=12 ddsc=12取sc中点q，连dq则sq=dd，平面四边形ddqs是矩形 dqsc，由三线合一定理，知dc=ps同理，da= db= db= ds即以d为球心ds为半径作球d则a、b、c均在此球上即d为三棱锥sabc的外接球球心四、（本题满分20分）设0ab，过两定点a(a，0)和b(b，0)分别引直线l和m，使与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点p的轨迹解：设l：y=k1(xa)，m：y=k2(xb)于是l、m可写为(k1xyk1a)(k2xyk2b)=0 交点满足若四个交点共圆，则此圆可写为(k1xyk1a)(k2xyk2b)+l(y2x)=0此方程中xy项必为0，故得k1=k2，设k1=k2=k0于是l、m方程分别为y=k(xa)与y=k(xb)消去k，得2x(a+b)=0，(y0)即为所求轨