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1 8 1相对运动 牵连运动 绝对运动 8 2点的速度合成定理 8 3点的加速度合成定理 第八章点的合成运动 运动学 2 8 1 相对运动 牵连运动 绝对运动 1 问题的提出 3 2 基本概念 1 二个坐标系 静坐标系 O xyz 固接于地面的坐标系 动坐标系 O x y z 固接于相对静系运动的物体上的坐标系 2 三种运动 绝对运动 动点相对于静系的运动 x y z O x y z 相对运动 动点相对于动系的运动 牵连运动 动系相对于静系的运动 4 3 二种轨迹 绝对轨迹 动点在绝对运动中的轨迹 相对轨迹 动点在相对运动中的轨迹 4 牵连点 在某瞬时 动系上与动点相重合的点为动点在此瞬时的牵连点 5 三种速度 绝对速度 va 动点相对于静系的速度 相对速度 vr 动点相对于动系的速度 牵连速度 ve 牵连点相对于静系的速度 M 5 6 三种加速度 绝对加速度 aa 动点相对于静系的加速度 相对加速度 ar 动点相对于动系的加速度 牵连加速度 ae 牵连点相对于静系的加速度 6 例题8 3 曲柄导杆机构的运动由滑块A带动 已知OA r且转动的角速度为 试分析滑块A的运动 7 例题8 4 平底凸轮机构如图示 凸轮O的半径为R 偏心距OA e 以匀角速度 绕O转动 并带动平底从动杆BCD运动 试确定动点并分析其运动 8 例题8 5 半径为r偏心距为e的凸轮 以匀角速度 绕O轴转动 AB杆长l A端置于凸轮上 B端用铰链支承 在图示瞬时AB杆处于水平位置 试确定动点并分析其运动 9 矢量对时间的绝对导数和相对导数 1 基本概念 绝对导数 在静系中观察到的矢量对时间的变化率 相对导数 在动系中观察到的矢量对时间的变化率 2 动系平动时绝对导数和相对导数的关系 A x i y j i i j j 10 结论 1 3 动系相对于静系作定轴转动时 绝对导数和相对导数的关系 z和z 轴重合且动系绕z轴以角速度 转动 A x i y j i i j j k k k 11 结论 2 8 2点的速度合成定理 1 牵连运动为平动时点的速度合成定理 12 根据刚体平动的特点可知 在任一瞬时 动系中的各点均与O 点有相同的运动量 因而在此情况下不必确定牵连点 M r r rO r rO r 13 即 3 2 牵连运动为定轴转动时点的速度合成定理 O M M 牵连点是动系上和动点M重合的一点M r 14 综合 3 4 两式可得结论 va ve vr 15 例题8 6 曲柄导杆机构如图所示 已知OA r 曲杆BCD的速度vD的大小为v 求该瞬时杆OA转动的角速度 16 解 取滑块A为动点 x y x y va ve vr va ve vr 建立静系O xy和动系B x y A的绝对运动 以O为园心r为半径的园运动 A的相对运动 沿y 轴的直线运动 动系的牵连运动 沿x轴的直线平动 va r ve vD v 解得 17 例题8 7 平底凸轮机构如图示 凸轮O的半径为R 偏心距OA e 以匀角速度 绕O转动 并带动平底从动杆BCD运动 试求该瞬时杆BCD的速度 18 解 取凸轮中心A为动点 建立静系O xy和动系B x y x y x y A的绝对运动 以O为中心e为半径的园运动 A的相对运动 平行于x 轴的直线运动 动系的牵连运动 平行于y轴的直线平动 va ve vr va ve vr va e 解得 v e sin ve vBCD v 19 例题8 8 图示机构中滑块A套在摇杆O2B上 并与曲柄O1A以销子连接 当O1A转动时通过滑块A带动O2B左右摆动 设O1A长r 以匀角速 1转动 试求该瞬时杆O2B的角速度 2 20 解 取套筒A为动点 建立静系O2 xy和动系O2 x y x y x y A的绝对运动 以O1为中心r为半径的园运动 A的相对运动 沿x 轴的直线运动 牵连运动 动系随O2B杆的摆动 va ve vr 牵连点 O2B杆上被滑块A盖住的A 点 va ve vr va r 1 A 得 21 例题8 9 半径为r偏心距为e的凸轮 以匀角速度 绕O轴转动 AB杆长l A端置于凸轮上 B端用铰链支承 在图示瞬时AB杆处于水平位置 试求该瞬时AB杆的角速度 AB 22 解 取AB杆的A点为动点 建立静系O xy和动系O x y A的绝对运动 以B为中心l为半径的园运动 A的相对运动 沿凸轮O边缘的曲线运动 牵连运动 动系随凸轮O且角速度为 的定轴转动 牵连点 凸轮O上被AB杆的A端盖住的A 点且随凸轮O作角速度为 的定轴转动 va ve vr va l AB x y x y va ve vr A ve r sin 解得 23 取凸轮O的中心C为动点 x y x y va ve C 建立静系O xy和动系A x y 平动 C的绝对运动 以O为中心e为半径的园运动 C的相对运动 以A为中心r为半径的园运动 牵连运动 动系随AB杆的A端作曲线平动 牵连点 动系上被凸轮O上的C点盖住的C 点 va ve vr ve l AB va e vr 0 解得 24 8 3点的加速度合成定理 8 3 2 牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理 8 3 1 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 25 8 3 1 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 1 动系平动时 va ve vr aa ae ar 或 aan aa aen ae arn ar 26 例题8 10 半径为R 偏心距为e的偏心园凸轮 以等角速度 绕定轴O逆时针向转动 并带动拨叉A和固接于A的控制杆BD沿水平直线作往复运动 设拨叉与凸轮的接触表面是铅垂的 求控制杆BD的加速度并将它表示成转角 的函数 27 解 取偏心园凸轮的中心C为动点 建立静系O xy和动系A x y C的绝对运动 以O为中心为e半径的园运动 C的相对运动 平行于y 轴的直线运动 牵连运动 动系沿水平直线作往复平动 va ve vr x y x y va ve vr va e 解得 ve e cos vr e sin 28 取偏心园凸轮O的中心C为动点 aa ae ar aa ae ar aa aan aa aa 0 aan e 2 ae aasin e 2sin aa e 2 29 例题8 11 平底凸轮机构如图示 凸轮O的半径为R 偏心距OA e 以角速度 和角加速度 绕O转动 并带动平底从动杆BCD运动 试求该瞬时杆BCD的加速度 30 解 取凸轮中心A为动点 建立静系O xy和动系B x y x y x y A的绝对运动 以O为中心e为半径的园运动 A的相对运动 平行于x 轴的直线运动 动系的牵连运动 平行于y轴的直线平动 31 aa ae ar 1 aa aan aa aa e aan e 2 ae aD 把 1 式向竖直方向投影得 e 2cos e sin ae aD e 2cos e sin aa ae ar 32 例题8 12 具有园弧形滑道的曲柄滑道机构 用来使滑道BC获得间歇的往复运动 已知曲柄以匀角速度 10rad s绕O轴转动 OA 10cm 园弧道的半径r 7 5cm 当曲柄转到图示位置sin 0 6时 求滑道BC的速度和加速度 33 解 取滑块A为动点 建立静系O xy和动系C x y A的绝对运动 以O为中心OA为半径的园运动 A的相对运动 沿弧形滑道的曲线运动 牵连运动 动系沿x轴的直线平动 va ve vr 1 x y x y va ve vr D rsin OAsin va OA ve vBC 把 1 式向AD方向投影得 vacos 90o vecos 90o ve vBC 1 6m s vr 2 2m s 34 取滑块A为动点 aan ae ar arn aa ae ar 2 aa aan aa aa 0 aan OA 2 10m s2 ae aBC 把 2 式向AD方向投影得 ar arn ar aancos 180o aecos arn ae aBC 123 5m s2 D 35 8 3 2 牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理 动系定轴转动时 2 va ve vr ve r ae r ve 3 36 把 4 5 式代入 3 式得 4 5 aa ae ar 2 vr 令 ak 2 vr则有 aa ae ar ak 37 例题8 13 半径为r偏心距为e的凸轮 以匀角速度 绕O轴转动 AB杆长l A端置于凸轮上 B端用铰链支承 在图示瞬时AB杆处于水平位置 试求该瞬时AB杆的角加速度 AB 38 解 取AB杆的A点为动点 建立静系O xy和动系O x y A的绝对运动 以B为中心l为半径的园运动 A的相对运动 沿凸轮O边缘的曲线运动 牵连运动 动系随凸轮O且角速度为 的定轴转动 牵连点 凸轮O上被AB杆的A端盖住的A 点且随凸轮O作角速度为 的定轴转动 va ve vr va l AB x y x y va ve vr A ve r sin 解得 AB vr r 39 aa ae ar ak 1 aa aen ar aan arn ak aa aan aa aa l AB ar arn ar ae aen ae arn r 2 aen r 2sin ae 0 ak 2r 2 把 1 式向AC方向投影得 aancos aa sin aensin arn ak 解得 40 取凸轮O的中心C为动点 建立静系O xy和动系A x y 平动 C的绝对运动 以O为中心e为半径的园运动 C的相对运动 以A为中心r为半径的园运动 牵连运动 动系随AB杆的A端作曲线平动 牵连点 动系上被凸轮O上的C点盖住的C 点 x y x y va ve C va ve vr ve l AB va e vr 0 解得 AB 41 aa ae ar 2 aan ae aen arn ar aa aan aa aan e 2 aa 0 ae aen ae ae l AB ar arn ar arn 0 把 2 式向AC方向投影得 aancos aencos ae sin 解得 42 例题8 14 滑块M与杆O1A铰接 并可沿杆O2B滑动如图所示 在图示瞬时 杆O1A的角速度 1 0 2rad s 角加速度 1 0 25rad s2 转向如图 求此瞬时杆O2B的角加速度 2和滑块M相对于O2B的加速度 43 解 取滑块M为动点 建立静系O1xy和动系O2x y M的绝对运动 以O1为中心O1M为半径的园运动 M的相对运动 沿y 轴的直线运动 牵连运动 动系相对于静系绕O2作定轴转动 va ve vr 牵连点 杆O2B上被滑块M盖住的点M x x y y M