数学高考中的新题型(闸北新王牌)stu.pdf

第二十二讲第二十二讲 数学高考中的数学高考中的新型题新型题 一 一 考点演绎考点演绎 上海考纲要求学生具备逻辑思维能力 运算能力 空间想象能力 分析问题和解决问题 的能力 数学探究与创新能力 其中分析问题和解决问题的能力 数学探究与创新能力对于 学生的要求比较高 实际问题与新型题是考查这些能力的重要方式 这类题目立意新颖 考 查方式多样 设问方式灵活 需要学生对问题进行细致观察 认真分析 联系已有知识 转 化为能够解决的问题才能够顺利解决 新型题以知识应用为核心 以探究为途径 是高考以 及自主招生的热门题型 也是考生能否获得高分的关键题型 新型题本身的特点决定了其具有多种类型 常见类型有新定义型 规律推理型 探究设计型 命题开放型 实际应用型 图形构建型 综合型等 新型题难度偏高 所以一般以填空题压 轴题和解答题压轴题的形式出现 二 二 例题精讲例题精讲 I 新定义型新定义型 包括定义新运算 定义新符号 定义新概念 定义新性质等 此类题目以学 生已有的知识为基础 给于一定量的新信息 让学生通过阅读从中获取有关信息 通过分析 发现问题的规律从而找出解决问题的方法并应用于新问题的解答 例 1 设是上的初等函数 定义如下两个函数 和 对 任 意则 下 列 等 式 恒 成 立 的 是 A B C D 例2 设S是至少含有两个元素的集合 在S上定义了一个二元运算 即对任意的 a bS 对于有序元素对 a b 在 S 中有唯一确定的元素a b 与之对应 若对任意的 a bS 有 ab ab 则对任意的 a bS 下列等式中不恒成立的是 A ab aa B ab aa ba C bb bb D a bba bb f x g x h x R f g x f ig x x R f g x f g x f ig x f x g x f g ih x f ih gih x f ig h x f h i g h x f g h x f h g h x f ig ih x f ih i gih x II 规律推理型规律推理型 规律探索型创新题给出了一个数学情景或一个数学命题 需要学生用发散 思维去联想 类比 推广 转化 找出类似的情景或命题 或者要将条件中的结论进行更大 范围内的推广 主要考查学生的观察 分析 类比 归纳的能力 从不变中找规律 从不变 中找变化 常见的类比有 等差与等比 由加减到乘除 由乘除到乘方开方 椭圆与双曲线 由加到减 由和一定到差一定等 例 3 在平面几何中有如下特性 从角的顶点出发的一条射线上任意一点 到角两边的距离之比为定值 类比上述性质 请叙述在立体几何中相应地特 性 并画出图形 不必证明 类比性质叙述如下 例 4 已知点P是椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 上除左右顶点外任意一点 12 F F为椭圆左 右焦点 过其中一个焦点作 12 FPF 的顶角外角平分线的垂线 设垂足为 M 则 M 点的轨 迹是圆 除两点 以此类推 P是双曲线 22 22 1 0 xy a b ab 上除顶点外任意一点 可 以得到类似结论 III 探究设计型探究设计型 与一般题型不同 探究设计型问题要求学生借助相对有限的条件 依靠独 立思考 设计出解决问题的过程 有些甚至要学生自己提出问题 并利用已有知识将其解 决 这类问题对数学思维要求很高 例 5 对于给定数列 n c 如果存在实常数 p q使得 1nn cpcq 对于任意nN 都成立 我们称数列 n c是 M 类数列 1 若2 3 2 n nn an b nN 数列 n a n b是否为 M 类数列 若是 指出它 对应的实常数 p q 若不是 请说明理由 2 证明 若数列 n a是 M 类数列 则数列 1nn aa 也是 M 类数列 3 若数列 n a满足 1 2a 1 3 2 n nn aatnN t为常数 求数列 n a前 2014 项的和 并判断 n a是否为 M 类数列 说明理由 4 根据对 2 3 问题的研究 对数列 n a的相邻两项 1 nn aa 提出一个条件或结论 与 M 类数列 概念相关的真命题 并探究其逆命题的真假 IV 命题开放型命题开放型 专指条件开放型问题或结论开放型问题 与一般问题的答案确定性不同 此类问题往往有多个答案甚至无数个答案 对这类问题的解答也分为两个层次 仅仅以做对 这道题为目的层次 只需要找到一个特殊情况能够满足题意即可 这一点导致命题开放型的 题目整体难度比较低 分析出问题本质的层次 能够分析出众多答案的共同点 从而完全看 透出题者的目的 例 6 试构造函数 f x g x其定域为 0 1 值域为 0 1 1 对于任意 0 1a f xa 都至少有两个解 2 对于任意 0 1a g xa 有无穷多个解 例 7 已知其中是的一条对称轴 则的一个 可能取值为 V 实际应用型实际应用型 应用题文字叙述长 数学背景陌生 涉及面又广 相当一部分学生存在应用 题惧怕心理 心理失衡 导致在阅读和理解方面效果不佳 语言文字条件难以转化为数学条 件 故而得分率较低 例 8 某数学家有两盒火柴 每盒都有 n 根火柴 每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从 中抽出一根 求他发现用完一盒时另一盒还有r根 1rn 的概率 例 9 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大 则称甲不亚于乙 在 100 个小伙子中 如果某人不亚于其他 99 人 就称他为棒小伙子 那么 100 个小伙子中的棒小伙子最多可 能有 A 1 个 B 2 个 C 50 个 D 100 个 f x 3sin k 5 x p 3 k 0 x p 6 f x k VI 图形构图形构建建型型 空间想象能力是凭借视觉和想象把握图形间关系的能力 实质是一种逻辑 推理能力 是通过已知的事实对未知事物的推理 图形构建型问题主要是指由平面图形构建 立体图形或者在立体图形中构建新的立体图形 对空间想象能力要求较高 立体空间内多方 位观察法是一种常用的解决方法 例 10 有一个各条棱长均为的正四棱锥 现用一张正方形的包装纸将其完全包住 不能 裁剪 可以折叠 那么包装纸的最小边长为 A 13 a B 1 3 2 a C 26 2 a D 26 a 例11 三个1212cmcm 的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成 A B两部分 图1 把六部分粘在一个正六边形的外面 图 2 然后折成多面体 则此多面体的体积是 A 216 3 cm B 648 3 cm C 864 3 cm D 1728 3 cm a A B 图 1 A B B B A A 图 2 VII 综合型综合型 综合型新型题可能涉及以上多个类型 需要较强的理解能力 逻辑思维能力和 分析能力 例 12 若 12 nni Aa aa a 0 或 1 1 2 in 则称为 0 和 1 的一个 n 位排列 对 于 将排列 121nn a a aa 记为 1 n R A 将排列 112nnn aa aa 记为 2 n RA 依此类推 直至 n nn RAA 对于排列和 1 2 1 i n R Ain 它们对应位置数字相同的个 数减去对应位置数字不同的个数 叫做和 i n R A的相关值 记作 i nn t A R A 例如 3 110A 则 1 3 0 1 1R A 1 33 1t A R A 若 1 1 2 1 i nn t A R Ain 则称为最佳排列 写出所有的最佳排列 3 A 证明 不存在最佳排列 5 A 若某个 21 k AkN 为最佳排列 求排列 21k A 中 1 的个数 三 三 易错警示易错警示 1 在平面上 两条直线的位置关系有相交 平行 重合三种 已知 是两个相交平面 空间两条直线 12 l l在 上的射影是直线 12 s s 1 2 l l在 上的射影是直线 12 t t 用 1 s与 2 s 1 t 与 2 t的位置关系 写出一个总能确定 1 l与 2 l是异面直线的充分条件 An An An An An 2 在公差为 0 d d 的等差数列 n a中 若 n S是 n a的前n项和 则数列 201030204030 SSSSSS 也成等差数列 且公差为100d 类比上述结论 相应地在公 比为 1 q q 的等比数列 n b中 若 n T是数列 n b的前n项积 则有 四 四 高考预测高考预测 1 已知双曲线实轴长为 2 一焦点为 F 1 0 且恒过原点 则该双曲线中心的轨迹方程 是 2 将自然数 1 2 3 4 排成数阵 如右图 在 2 处转第一个弯 在 3 转第二个弯 在 5 转第三 个弯 则第 2014 个转弯处的数为 五 五 方法总结方法总结 1 审题要仔细 新型题通常在题干中有大量的信息 其中大多数都是课本上未曾见过的 即使是多余的话有时也会给出解题方向 所以要仔细多遍阅读题干 尽可能地把每一句话都 转化为熟悉的数学语言才能够将题目转化为熟悉的数学题型 所以审题是解答新型题的基础 2 类比与联想 新型题一定是在考纲范围之内 只不过它披上了新型题的外衣 但其实质 还是在于我们课本上学习的知识和方法 所以我们在把不熟悉的题目转化为熟悉的数学语言 之后通常要做一个类比 看这道题与我们之前学过的哪些重要知识点 方法 经典题型有关 顺藤摸瓜依葫芦画瓢 往往可以收到奇效 3 细心 新型题经常涉及多步转化和多步计算 所以出错率比一般的题目要高 有时大家 明明已经看出这道题考的原型 但是却错在了一些小细节上 非常可惜 4 方法多样化 解新型题的思路要开阔 在题目条件比较抽象时 可以考虑使用特殊值法 进行一些简单验证 通过验证得到对规律的初步了解 进而得到思考的方向 六 六 实战演练实战演练 1 给定集合 A 若对于任意 a bA 有a bA 且a bA 则称集合 A 为闭集合 给出如下四个结论 集合 4 2 0 2 4A 为闭集合 集合 3 An nk kZ 为闭集合 21 22 23 24 25 26 20 7 8 9 10 27 19 6 1 2 11 18 5 4 3 12 17 16 15 14 13 若集合 12 A A为闭集合 则 12 AA 为闭集合 若集合 12 A A为闭集合 且 12 AR AR 则存在cR 使得 12 cAA 其中正确结论的序号是 2 某学校要召开学生代表大会 规定各班每 10 人推选一名代表 当各班人数除以 10 的余 数大于 6 时再增选一名代表 那么 各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用 取整函数 y x x 表示不大于 x 的最大整数 可以表示为 A y B y C y D y 3 已知 f x是定义在 R 上的函数 请给出能使命题 若 则 成立的一个充分不必要条件 4 若 w 是方程 3 1x 的一个虚根 则有 2 10 将上述命题加以推广 若 是方 程 1 3 n xnNn 的一个虚根 则有 5 对于任意实数x 符号 x表示x的整数部分 即 x是不超过x的最大整数 在实数 轴 R 箭头向右 上 x是在点x左侧的第一个整数点 当x是整数时 x就是x 这个函数 x叫 做 取 整 函 数 它 在 数 学 本 身 和 生 产 实 践 中 有 广 泛 的 应 用 那 么 22222 l o g 1 l o g2 l o g 3 l o g4 l o g 1 0 2 4 6 有六根细木棒 其中较长的两根分别为3a 2a 其余四根均为a 用它们搭成三 棱锥 则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为 A 0 B 6 3 C 0 或 6 3 D 以上皆不对 7 某游戏中 一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下 从最大面的六 个出口出来 规定猜中出口者为胜 如果你在该游戏中 猜得珠子从出口 3 出来 那么你取胜的概率为 A 5 16 B 5 32 C 1 6 D 以上都不对 8 若四面体各棱长是 1 或 2 且该四面体不是正四面体 则其体积是 只 要写一个可能值 9 点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离 已知点 1 0 A 圆C 22 20 xxy 那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为 1 的点的轨迹 x 10 x 3 10 x 3 10 x 4 10 x 5 10 m m 1 0 f m f 1 f m f 1 是 A 双曲线的一支 B 椭圆 C 抛物线 D 射线 10 已知两个正数 a b 可按规则cabab 扩充为一个新数c 在 a b c三个数中取 两个较大的数 按上述规则扩充得到一个新数 依次下去 将每扩充一次得到一个新数称为 一次操作 1 若1 3ab 按上述规则操作三次 扩充所得的数是 2 若0pq 经过 6 次操作后扩充所得的数为 1 1 1 mn qp m n为正整数 则 m n的值分别为 11 对于具有相同定义域D的函数 f x和 g x 若存在函数 h xkxb k b为常数 对 任 给 的 正 数m 存 在 相 应 的 0 xD 使 得 当xD 且 0 xx 时 总 有 0 0 f xh xm h xg xm 则称直线 lykxb 为曲线 yf x 与 yg x 的 分渐近 线 给出定义域均为 D 1x x 的四组函数如下 2 f xx g xx 102 x f