同济五版线性代数第二章矩阵及其运算.doc

海南大学应用数学系线性代数教案答疑电话答疑邮箱：第二章 矩阵及其运算教学目的：使学生掌握矩阵的概念，了解矩阵概念产生的背景，使学生掌握矩阵的加、减、数乘、乘法、的运算及运算律。教学重点：矩阵的概念、运算及运算律；矩阵的乘法与转置、逆矩阵的概念和性质教学难点：矩阵的乘法及其运算律；逆矩阵的概念、性质教学过程：第一节 矩阵1 先给出矩阵的定义定义： 或 （1）再依次介绍实矩阵、复矩阵、阶方阵、行矩阵（行向量）、列矩阵（列向量）、单位矩阵、数量矩阵、矩阵的相等、零矩阵（强调不同阶的零矩阵不同）。2 实际问题中的矩阵表达（学习矩阵的意义）例1 5个城市间的单项航线（有向图）可用0，1矩阵表示。例2 某经济系统有三个企业：煤矿、电厂和铁路。在一年内，企业间的直接消耗系数可用矩阵表示。例3 某厂有新产品，市场推销策略有S1、S2、S3三种，市场需求情况有大、中、小三种，分别用N1、N2、N3来表示。其效益可用矩阵表示。例4 各变量到个变量的线性变换（2）一一对应（）；恒等变换对应的矩阵叫做单位阵；相似变换对应的矩阵叫做对角阵。说明可用矩阵来研究线性变换，给定一个线性变换便给定了一个矩阵；给定一个矩阵，便给定了一个线性变换。第二节矩阵的运算一 矩阵的加法、负矩阵、减法定义：（加法） 见P26。同型矩阵才有加法，加法满足交换律、结合律。给出负矩阵的定义，并由此定义矩阵的减法。二 矩阵的数乘（数与矩阵的乘法）定义：（数乘）见P27。 数乘满足结合律和两个分配律。三 矩阵与矩阵的乘法先以两个线性变换的积为例导出两个矩阵之积产生的背景。再给出两个矩阵相乘的定义。定义：（矩阵的乘法） 见P27。特别地，矩阵与矩阵之积是一个数。即的元素就是的第行与的第列之积。要掌握矩阵乘法的规律，应该注意以下几点：（1） 两个矩阵相乘，只有当前面矩阵的列数等于后面矩阵的行数才能相乘；（2） C=AB的行数等于A的行数，列数等于B的列数；（3） C=AB的元等于A的第i行的每个元与B的第j列的对应元乘积之和；（4） 与数的乘法不同，矩阵乘法不满足交换律，相乘的顺序不能随意颠倒。举例说明矩阵乘法不满足交换律：j有意义，未必有意义；k与都有意义时它们未必是同型的，即使是同型的也未必相等。由此例还知时，可以，即矩阵的乘法不满足消去律。单位矩阵在矩阵乘法中的作用：。矩阵的乘法例1 设 则有 由此可知：矩阵A左乘对角阵，等于矩阵A的各行依次乘以B的对角元；矩阵A右乘对角阵C，等于矩阵A的各列依次乘以C的对角元。有了矩阵的乘法，可以定义矩阵的乘幂。设A是n阶方阵，定义只有方阵，方幂才有意义。因矩阵的乘法不满足交换律，因此一般情况下。矩阵的转置定义概念：（1）矩阵的转置；（2）对称阵；（3）反对称阵。矩阵的转置满足四条性质。总结本次课所讲主要内容布置作业第三节 逆矩阵逆方阵的概念 对从变量到变量的线性变换（1.6），利用矩阵的乘法，可以记为 （1.7）。 这里A是n阶方阵，如果可由（1.6）解出，得到唯一的表达式（1.8），那么，可以得到一个从到的线性变换，称此线性变换为（1.6）的逆变换，（1.8）可记为 （1.9）。由（1.7）和（1.9）两式得 。定义对，若，使，则称可逆，称为的逆。逆阵存在时一定唯一：；记。定义 对于n阶方阵A，如果矩阵A的逆矩阵存在，则称A是可逆的；如果A的逆阵不存在，则称A是不可逆的。 逆方阵的性质性质1 如果A可逆，则A有唯一的逆方阵，记为。性质2 如果矩阵A可逆，且，则必有；如果矩阵A可逆，且，则必有。推论：若或，则。例2 设n阶矩阵A，B满足，证明可逆。例3 已知n阶矩阵A满足，证明可逆。例4 已知矩阵A满足，求。性质3 如果n阶方阵A，B都可逆，则AB可逆，并且。这个性质可以推广到有限个方阵乘积的情况，即。性质4 如果方阵A可逆，则可逆，而且。性质5 如果方阵A可逆，则A的每一行都不能全为零，A的每一列也都不能全为零。性质6 如果方阵A可逆，则可逆，且。结论：n阶方阵A，B满足AB=E的充分必要条件为A，B都可逆，且。例1 （2003数四）设A，B均为三阶矩阵，E为三阶单位阵，已知AB=2A+B，求。例2 设A，B，A+B均为n阶可逆阵，证明（1）可逆，且；（2）。 第四节 分块矩阵 1分块矩阵的概念2分块矩阵的加、减、数乘、乘法运算j分块矩阵的加法：（要求有相同的分块法）；k分块矩阵的数乘；l分块矩阵的乘法：。A、B的分块法满足A的列分法与B的行分法一致：，则，其中， ,。m分块矩阵的转置：，3分块对角矩阵 设为阶矩阵（），则矩阵为分块对角阵。分块矩阵的加法、数乘、乘法与矩阵的性质类似。m对角阵、