因子分析与数学模型(2).doc

三、因子分析因子分析是主成分分析的推广和发展，它也是将具有错综复杂关系的变量（或样品）综合为数量较少的几个因子，以再现原始变量与因子之间的相互关系，同时根据不同因子还可以对变量进行分类，它也是属于多元分析中处理降维的一种统计方法。因子分析的基本思想是通过变量的相关系数矩阵（这里只讲R型因子分析）内部结构的研究，找出能控制所有变量的少数几个随机变量去描述多个变量之间的相关关系，这少数几个随机变量是不可观测的，称为因子。因子分析常有以下四个基本步骤：（1） 确认待分析的原有若干变量是否适合作因子分析。 因子分析潜在的前提要求是原有变量应有较强的相关关系，从而能从中综合出反映某些变量共同特征的几个较少 的公共因子变量。SPSS提供了判断变量是否适合作因子分析的统计检验方法如巴特莱特球度检验和KMO检验(80%. 这里F称为X的公共因子或潜因子，即前述的综合变量。称为因子载荷矩阵。称为因子载荷，实际上是第i个变量在第j个公共因子的相关系数。反映了第i个变量在第j个公共因子上的相对重要性。 变量共同度的统计意义：因子载荷阵A中第i行元素的平方和，即称为变量的共同度。可以计算，由于已标准化，得，越接近1，说明该变量的几乎全部原始信息都被所选的公因子说明了，原始变量空间转化为因子空间转化的性质越好。当时，说明公因子对影响很小，主要由特殊因子来描述了。 公因子的方差贡献的统计意义：将因子载荷矩阵中各列元素的平方和记为称为公因子的贡献，它表示同一公因子对诸变量所提供的方差贡献之总和，它是衡量公因子相对重要性指标，其值越高，说明该因子的重要程度越高。（3） 利用旋转方法使因子变量更具有可解释性。 因子载荷阵不是唯一的，若为正交阵，则因子模型可以写成，而仍满足其分量间相互独立，且与不相关。所以也是公因子，也是因子载荷，它可看着是对A的旋转，如何找到恰当的使旋转后的因子载荷阵结构简化，即每个变量仅在一个公共因子上有较大的载荷，而在其余公共因子上的载荷比较小，便于对公共因子进行解释。常用方差最大正交旋转法实现上述目标。正交旋转后，某个变量在某个因子上的载荷趋于较大，在其它因子上的载荷趋于较小，该因子变量就能够成为某个变量的典型代表，因子的实际含义就清楚了。（4） 计算因子变量得分。 因子得分是因子变量够造的最终体现，从而对原变量的研究可转化为对各因子得分变量的研究。由于公共因子能反映原始变量的相关关系，用公共因子代表原始变量时，有时更有利于描述研究对象的特征。这时反过来将公共因子表示为原变量的线性组合，即 上式称为因子得分函数。用它可估计计算每个样品的公共因子得分。估计因子得分的方法有：回归法，Bartlette法，Anderson-Rubin法等。按某一因子得分可对样本作排序。以各公因子的方差贡献率为权重，还可构造所谓综合因子得分（E值）： 利用E值也可对样本进行排序，甚至进行分类。 四、实例分析与SPSS统计软件具体在进行因子分析时可按如下顺序操作：（1） 将原始数据标准化。（2） 建立变量的相关系数矩阵R。（3） 求R的特征根及相应的单位特征向量。（4） 按方差累计贡献率85%，取前m个特征根及相应的单位特征向量，写出因子载荷阵A。（5） 对A实施方差最大正交旋转。（6） 结合专业知识对因子给以实际背景的解释命名。（7） 计算因子得分（8） 排序、分类及统计分析。SPSS因子分析操作的基本步骤（1） 建立SPSS数据文件。（2） 菜单选项：Statistics-Data Reduction-Factor.（3） 选择参与因子分析的变量到Variables框（4） 按Extraction钮选择构造因子变量的方法。SPSS默认的方法是主成分分析法。Analyze框：选择提取因子变量的依据，可以是相关系数阵或协方差阵。Extract框：指定确定因子个数的标准Display框：选择输出那些与因子提取有关的信息。（5） 按Rotation钮选择因子载荷矩阵的旋转方法Display选择输出那些与因子载荷矩阵旋转有关的信息Rotated solution 表示输出旋转后的因子载荷矩阵（6） 按Descriptives钮：在Statistics框中选择输出那些相关统计量。Correlation matrix框：提供了几种检验变量是否适合作因子分析的检验方法。（7） 按Scores钮：选中Save as variable