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用轴对称求最短距离在研究几条线段长之和(差)的最小或最大值时,常常需要把这些线段集中到一起,然后将其与某条长度固定的线段进行比较。把其中的部分特殊点进行恰当的轴对称变换,是实现这一目标的有效手段。现举例说明,供同学们参考。一、为了在已知直线上寻找与同侧两点距离之和最小的点,可通过轴对称变换,把同侧两点转化为异侧两点,再利用“三角形任意两边之和大于第三边”来确定例1.如图1,牧童在A处放牧,其家在B处,A、B到河岸l的距离分别为AC、BD,且A处到河岸CD中点的距离为500m。(1)如牧童从A处将马牵到河边饮水后再回家,试问:在何处饮水,所走路程最短?(2)最短的路程是多少?解析:这个问题可简述为“已知直线CD和直线CD同侧的两点A,B,在直线CD上求一点M,使最小。”(1)如图2,先作点A关于直线CD的对称点,再连接交CD于点M,则点M为所求的点。证明如下:在CD上任取一点,连接、AM。点A、关于直线CD对称,点M、在CD上,。最小。(2)由(1)知,。故M为CD中点,且最短路程为。二、在涉及折线段长的最值问题的,一般是通过多次轴对称变换,利用两点之间线段最短求最值。例2.如图3,牧童家在A处。现在牧童要先带马到河边(图中用直线a表示)饮水,再到草地(图中用直线b表示)吃草,然后回家。问:牧童让马在何处饮水、吃草,所走的总路程最短?解析:设点B、点C分别是马饮水、吃草处,本题即是要求线段长之和AB+BC+CA的最小值。我们通常需要把它和固定线段相比较。可通过轴对称变换,把这些线段放在同一直线上,利用两点之间线段最短来解决。如图4所示,分别作点A关于直线a的对称点A”,点A关于直线b的对称点A”。连接A”A”。A”A”交直线a于点B,交直线b于点C,则AB+BC+CA=A”B+BC+CA”A”A”。而对其他地点B”、C”,也都可以同样转化为A”B”+B”C”+C”A”,即为A”、A”两点间的折线段的长。根据“两点之间线段最短”知,线段A”A”最短,点B、C即为所求。三、为了在已知直线上寻找与异侧两点距离之差最小的点,可通过轴对称变换,把异侧两点转化为同侧两点,利用“三角形任意两边之差小于第三边”来确定例3.如图5,已知直线l和位于直线l异侧的两点A、B。其中点A到直线l的距离大于点B到直线l的距离。求作直线l上一点C,使最大。解析:如图6,作点B关于直线l的对称点B”,连接AB”,
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