广东省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编3 导数及其应用 理 (2).doc

广东省13大市2013届高三上期末考数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题、填空题1、（潮州市2013届高三上学期期末）定义域的奇函数，当时恒成立，若，则a b c d 答案：a2、（广州市2013届高三上学期期末）若直线是曲线的切线，则实数的值为 . 答案：分析：设切点为 ，由得，故切线方程为，整理得，与比较得，解得，故3、（茂名市2013届高三上学期期末）计算 . 答案：4、（增城市2013届高三上学期期末）曲线与所围成的图形的面积是 答案：5、（肇庆市2013届高三上学期期末）函数在区间上最大值为 答案： 解析：，6、（中山市2013届高三上学期期末）10曲线、直线与轴所围成的图形面积为_ 答案：7、（中山市2013届高三上学期期末）11已知函数的导数处取得极大值，则的取值范围为_答案：8、（珠海市2013届高三上学期期末）函数的导函数 答案：二、解答题1、（潮州市2013届高三上学期期末）二次函数满足，且最小值是（1）求的解析式；（2）设常数，求直线： 与的图象以及轴所围成封闭图形的面积是； （3）已知，求证：解：（1）由二次函数满足设，则 分又的最小值是，故解得； 分（2）依题意，由，得，或（）分由定积分的几何意义知 分（3）的最小值为，故， 分 ，故 12分， 13分， 14分2、（东莞市2013届高三上学期期末）已知函数（e是自然对数的底数，e=2.71828） (1)若k=e，求函数的极值； (2)若，求函数的单调区间；(3)若，讨论函数在上的零点个数解：（1）由得，所以 1分 令，得，解得 由得，由得， 当变化时，、的变化情况如下表：10+单调递减极小值单调递增 2分所以当=1时，有极小值为0，无极大值 3分（2）由，得 当时，则对恒成立， 此时的单调递增，递增区间为 4分 当时，由得到，由得到， 所以，时，的单调递增区间是；递减区间是 6分 综上，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间是；递减区间是 7分（3）解法一： 当时，对恒成立，所以函数在上无零点8分 当时，由（2）知，对恒成立，函数在上单调递增，又， 9分 所以函数在上只有一个零点 10分（若说明取绝对值很大的负数时，小于零给1分）当时，令，得，且在上单调递减，在 上单调递增，在时取得极小值，即在上最多存在两个零点（）若函数在上有2个零点，则，解得；11分（）若函数在上有1个零点，则或，解得或； 12分（）若函数在上没有零点，则或，解得 13分 综上所述， 当时，在上有2个零点；当或时，在上有1个零点；当时，在上无零点 14分 解法二： 当时，对恒成立，所以函数在上无零点8分y=exy=kxyx0图1当时，在上的零点就是方程在上的解，即函数与在上的交点的横坐标 9分当时，如图1，函数与只在上有一个交点，即函数在上有一个零点 10分y=exy=kxyx0图24当时，若相切时，如图2，设切点坐标为，则 即切线的斜率是所以，解得，即当时，只有一个交点,函数 在上只有一个零点；11分由此，还可以知道，当时，函数在上无零点 12分y=exy=kxyx0图34当过点时，如图3，所以时，在上有两个交点，即函数在上有两个零点；时，在上只有一个交点，即函数在上只有一个零点 13分综上所述，当时，函数在上有2个零点；当或时，函数在上有1个零点；当时，函数在上无零点 14分3、（佛山市2013届高三上学期期末）设设，其中是常数，且（1）求函数的极值；（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立；（3）设，且，证明：对任意正数都有：解析：（1）由题意可得， -2分，所以椭圆的方程为 -4分（2）设，由题意得，即， -6分又，代入得，即即动点的轨迹的方程为 -8分（3）设，点的坐标为，三点共线，而，则， 点的坐标为，点的坐标为， -10分直线的斜率为，而， -12分直线的方程为，化简得，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切 -14分4、（惠州市2013届高三上学期期末）已知函数（1）若为的极值点，求实数的值；（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；（3）当时，方程有实根，求实数的最大值。解：（1）1分因为为的极值点，所以2分即，解得 3分又当时，从而的极值点成立4分（2）因为在区间上为增函数，所以在区间上恒成立5分当时，在上恒成立，所以上为增函数，故符合题意6分当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以上恒成立 7分令，其对称轴为， 8分因为所以，从而上恒成立，只要即可，因为，解得 9分因为，所以综上所述，的取值范围为 10分（3）若时，方程可化为，问题转化为在上有解，即求函数的值域 11分以下给出两种求函数值域的方法：方法1：因为，令，则， 12分 所以当，从而上为增函数， 当，从而上为减函数， 13分 因此而，故， 因此当时，取得最大值0 14分方法2：因为，所以设，则当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减；因为，故必有，又， 因此必存在实数使得， ，所以上单调递减； 当，所以上单调递增； 当上单调递减； 又因为，当，则，又 因此当时，取得最大值0 14分5、（江门市2013届高三上学期期末）已知函数在上是减函数，在上是增函数求的值，并求的取值范围；判断在其定义域上的零点的个数解：由已知得1分，因为在上是减函数，在上是增函数，所以在处取得极小值，2分，解得3分，又因为在上是增函数，所以，4分，当时，所以的取值范围是5分，由得，解得或6分，递减极小值递增极大值递减9分当时，由上表知，取某个充分大的实数（例如）时，在定义域上连续，所以在区间上有一个零点，从而在其定义域上有1个零点10分；当时，在区间上有一个零点，从而在其定义域上有2个零点11分；当时，（）若，则，取某个充分小的实数（例如）时，所以在区间上有一个零点，从而在其定义域上有2个零点12分；（）若，则时，由上表知， 在区间上有一个零点，从而在其定义域上有1个零点13分；（）若，则时，在区间、上各有一个零点，从而在其定义域上有3个零点14分；综上所述，当或时，在其定义域上有1个零点；当或时，在其定义域上有2个零点；当时，在其定义域上有3个零点6、（茂名市2013届高三上学期期末）已知函数，函数是函数的导函数.（1）若，求的单调减区间；（2）若对任意，且，都有，求实数的取值范围；（3）在第（2）问求出的实数的范围内，若存在一个与有关的负数，使得对任意时恒成立，求的最小值及相应的值.解：（1）当时， 1分 由解得 2分当时函数的单调减区间为；3分（2）易知依题意知 5分因为，所以，即实数的取值范围是 ；6分（3）解法一：易知，.显然，由（2）知抛物线的对称轴 7分当即时，且令解得 8分此时取较大的根，即9分， 10分当即时，且令解得 11分此时取较小的根，即 12分， 当且仅当时取等号 13分由于，所以当时，取得最小值 14分解法二：对任意时，“恒成立”等价于“且”由（2）可知实数的取值范围是故的图象是开口向上，对称轴的抛物线7分当时，在区间上单调递增，要使最小，只需要8分若即时，无解若即时，9分解得（舍去） 或故（当且仅当时取等号）10分当时，在区间上单调递减，在递增， 则，11分要使最小，则即 12分解得（舍去）或（当且仅当时取等号）13分综上所述，当时，的最小值为. 14分7、（汕头市2013届高三上学期期末）集合a，b，dab。(i)当a2时，求集合d(用区间表示)；(ii)当时，求集合d(用区间表示)；(iii)在(ii)的条件下，求函数在d内的极值点.解：（1） a=1分当a=2时 b= 解不等式 得 或 2分3分(2)不等式 令 = = = =4分 当 6分 当 7分 当 8分(3) 令 当 当 10分 当时 当 当 当 11分 当 此时12分 当此时 又 ，此时 当 综上所述:当 时，；当 ，时；当，；当，14分8、（增城市2013届高三上学期期末）圆内接等腰梯形，其中为圆的直径（如图） oabcd（1）设，记梯形的周长为，求的解析式及最大值；（2）求梯形面积的最大值解：（1）过点作于 , 则 1分 2分 3分 4分 令，则 5分 6分 当，即时有最大值5 7分一、 设，则 8分 9分 10分 =0 11分 12分 且当时，当时， 13分 所以当时，有最大值，即 14分 或解：设，过点作于 是直径， 8分 9分 10分 11分 12分 13分 当时，当时， 所以当时有最大值 14分 或解：设，则 8分 9分 10分 11分 12分 当且仅当，即时等号成立 13分所以 14分9、（湛江市2013届高三上学期期末）已知函数f（x）1，其中e是自然对数的底，e2.71828。（1）证明：函数h（x）f（x）g（x）在区间（1,2）上有零点；（2）求方程f（x）g（x）根的个数，并说明理由；（3）若数列（）满足为常数），证明：存在常数m，使得对于任意，都有解：（1）由h（x）f（x）g（x）1，得：h（1）e30，h（2）e220，所以函数h（x）在区间（1,2）上有零点。（2）由（1）得：h（x）1由知，而，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点。解法1：1，记1，则.当时，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点.有且只有两个零点.所以，方程f（x）g（x）根的个数为2。（3）记的正零点为，即.（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：.下面用数学归纳法证明：当时，显然成立；假设当时，有成立，则当时，由知，因此，当时，成立.故对任意的，成立.（2）当时，由（1）知，在上单调递增.则，即.从而，即，由此猜测：.下面用数学归纳法证明：当时，显然成立；假设当时，有成立，则当时，由知，因此，当时，成立.故对任意的，成立.综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.10、（肇庆市2013届高三上学期期末）已知函数，其中是自然对数的底数，（1）当时，解不等式；（2）当时，求整数的所有值，使方程在上有解；（3）若在上是单调增函数，求的取值范围解：(1)因为，所以不等式即为，又因为，所以不等式可化为，所以不等式的解集为 (4 分)(2)当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，所以在和内是单调增函数， 又，所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上，所以整数的所有值为 （8分）(3)，当时，在上恒成立，当且仅当时取等号，故符合要求； (10 分)当时，令，因为， 所以有两个不相等的实数根，不妨设，因此有极大值又有极小值若，因为，所以在内有极值点，故在上不单调 （12分）若，可知，因为的图象开口向下，要使在上单调，因为，必须满足即所以. 综上可知，的取值范围是 (14分)11、（中山市2013届高三上学期期末）已知函数，.（）若函数在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围；（）若函数的图象在处的切线的斜率为，且，已知，求证：；（）在（）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由.解（）， .要使函数在其定义域内为单调函数，则在定义域内， 当时，在定义域内恒成立，此时函数在其定义内为单调递减函数，满足题意；当时，要使恒成立，则，解得；此时函数在其定义内为单调递增函数，满足题意； 当时，恒成立；此时函数在其定义内为单调递减函数，满足题意；综上所述，实数的取值范围是；.4分（注: 本问也可采用“分离变量”的方法，酌情给分）（）由题意知，可得，解得，所以于是，下面用数学归纳法证明成立，数学归纳法证明如下：（i）当时，不等式成立；（ii）假设当时，不等式成立，即成立，则当时，所以当时，不等式也成立，由（i）（ii）知时都有成立. .8分（） 由（）得，（）于是， （）成立，所以，成立累乘可得：，则成立，（）所以.12、（珠海市2013届高三上学期期末）已知函数，.（1）如果函数在上是单调减函数，求的取值范围；（2）是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请