第18初中数学“华杯”赛总决赛选拔测试备选题6.doc

2013年第18届初中“华杯”赛总决赛选拔测试备选题61.如图，三条长度为1、两两夹角为60的线段ad、be、cf交于同一点o.如果oab、ocd、oef的面积之和是，求以ab、cd、ef为三边的三角形的面积. 解：延长oe到m使em = bo，延长of到n使fn = co，连接mn并在mn上取点p使mp =ao，则empboa，fpncdo，efp就是以ab、cd、ef为三边的三角形，其面积等于sefp = somnsoabsocdsoef =.2.如图，abe是等边三角形，bcd是等腰直角三角形，c = 90，e在线段cd上，adbc，ade的面积为10，求bce的面积.解：作bfda于f，则bcdf是正方形，abfebc，af = ec，da = de，de =，设ec = x，则，bc =，sbce = 5.3.，求s的个位数字.解：（mod 10）8（mod 10），s的个位数字是8.4.已知a、b、c是质数，且，求a + b + c.解：a、b中必有一个为2，不妨设，则，或，a + b + c = 68.5.求使是完全平方数的所有质数p. 解：设时，k=2. 时，若，则k=3时，无质数解. k=4时，p=5. 若，则，无解.6.证明存在连续2013个正整数使得它们均不为整数的幂（非0、1次）. 解：考虑前个数，其中若一个数为整数的幂（非0、1次），显然底数最大为（），指数小于2013（），故这样的数少于个，故将1从小到大每2013个数分为一组，必有一组中所有数都不为整数的幂，满足条件. 7.是三个大于1的正整数，且整除，求的所有可能值. 解： 故 ，不妨设，则易得8.求所有满足下列条件的正整数n. （1）n至少含有4个正因子；（2）对于n的任意正因子，且，则. 解：若n为奇数，则有两个非1非本身的奇约数，其差为偶数，矛盾! 故n为偶数. 设n = 2k，显然，则即故n =6，8，12，经检验都满足条件. 9.求所有长、宽、高都为整数的长方体，使得其表面积与体积的值相等.解：设长、宽、高为x、y、z，则 不妨设，显然，若则若则时，时， 时，时， 综上 10.求所有使等于质数的正奇数对.解：设，则是质数，所以，设，则，（1）如果，则.（2）如果，则或（m|）时，无解；时，无解.答.11.表示不超过x的最大整数，求出所有满足等式的数n.解：，所以，又因为182|n，所以或546或728，检验得12.平面上给定6个点，这些点两两之间连线互不平行，又不垂直，也不重合.从任何一点开始，向其余5个点两两之间的连线作垂线.问：所有这些垂线间的交点数最多是多少？（不计已知6个点）答：13.13支球队进行单循环赛（即每两支球队恰比赛一次），结果没有出现平局，并且发现一种现象：有三支球队，其中每支球队都胜了一支球队并负于另外一只球队.我们把满足上述现象的三支球队称为一个“友好三角”.问：所有比赛结束后最多有多少个“友好三角”？答：个14.考虑所有格子方块（x,y），其中x、y是非负整数，它是方块左下顶点的坐标，并就用作该方块的标记. 把方块（0,0），（0,1）（1,0）（0,2）（2,0）（1,1）涂上阴影. 在方格中放一些棋子，可进行如下操作：若（x,y）中有棋子，且（x+1,y）和（x,y+1）中都没有棋子，可去掉（x,y）中的棋子，在（x+1,y）和（x,y+1）中各放一枚棋子. （1）在六个阴影格中各放一枚棋子（2）在（0,0）中放一枚棋子分别考虑（1）和（2）的情形，能否经过有限次操作，使阴影格中没有棋子？解：对（x,y）赋权，则每次操作不改变所有棋子权的总和. 所有格总权为4，阴影格总权为，其余格总权为，故情形（1）不能. 情形（2）中，若可行，第1行或第1列中至多只能有1个棋子，其权最多为，除去这行这列和阴影格剩下格子的权总和为，而有限次操作不可能将这些格填满. 15.有2013个小球，甲、乙两人轮流取球，每次可以取1、4、5个球，取完球的获胜. 问：若甲先取，甲是否有必胜策略？并证明之. 解：有，甲先取5个球，之后使每次取完之后剩下的球数模8余0或2若当前模8余0，乙取1则甲取5，乙取5则甲取1，乙取4则甲取4；若当前模8余2，乙取1则甲取1，乙取5则甲取5，乙取4则甲取4. 16.在4 4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后画去其中2行与2列若无论怎样画，都至少有一个红色的小方格没有被画去，则至少要涂多少个小方格?证明你的结论解：至少要涂7个小方格 若涂色格数4，则适当画去2行与2列必能把涂色小方格全部画去 若涂色格数是5，则至少有一行有2格涂色，画掉这一行，剩下的涂色格数不超过3，再画去l行、2列必能把涂色小方格全部画去 若涂色格数是6，则至少有一行有3格涂色，或至少有二行各有2格涂