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文档简介

4.4 厄密算符本征函数的性质 重点： 厄密算符本征函数的正交、归一、完备性（一）厄密算符本征函数的正交性 如果两函数 和 满足下列等式 （4.4-1） 式中积分是对变数的全部区域进行的，则称 和 两函数相互正交，“正交”这名词来源于两矢量A，B正交时，其乘积满足 所以（4.4-1）式可以认为是上式的推广。 例 属于动量算符不同本征值的两个本征函数 和 相互正交，即 下面证明：厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交。 在非简并的情况下，设厄密算符 的本征函数是 , 它们所属的本征值 互不相等，我们要证明当 时，有 （4.4-2） 证 设本征值方程 （4.4-3） （4.4-4） 且当 时， （4.4-5） 由于 为厄密算符，所以根据定义有 利用（4.2-3）、（4.2-4）式，上式可写成 但厄密算符的本征值都是实数，即 ，故上式可写为 或 由（4.4-5）式 故得 （4.4-6） 在 的本值 组成分立谱的情况下，假设本征函数 已归一化，即 （4.4-7） 这样（4.4-2）和（4.4-7）两式可合并写为 （4.4-8） 式中符号 表示 如果 的本征值 组成连续谱，则本征函数 可归一化为 函数，代替（4.4-8）有 （4.4-9） （二）厄密算符本征函数的完全性 如果 是厄密算符，它的正交归一体征函数是 对应的本征值是 则任一函数 可用它们（全部）的线性迭加来表示，即 （4.4-10） 式中 与r无关，本征函数 的这种性质称为完全性或者说 组成完全系。 如果 的本征值组成连续谱，则（4.4-10）式可改成积分形式 （4.4-11） 迭加系数 可证明仍为 （4.4-12）
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