如图,平面直角坐标系中,点A、B、C在x轴上,点D、E在y轴上,OA=OD=2,OC=OE=4,DB⊥DC,直线AD与经过B、E.doc

、（2010江汉区）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DBDC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQy轴与抛物线交于点Q（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：能否成为菱形；能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由分析：（1）在RtODC中，根据射影定理即可求出OB的长，由此可得到B点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）易知AOD是等腰Rt，若以P、Q、M为顶点的三角形与AOD相似，那么PQM也必须是等腰Rt；由于QPM90，因此本题分两种情况：PQ为斜边，M为直角顶点；PM为斜边，Q为直角顶点；首先求出直线AD的解析式，进而可得到M点的坐标；设出P点横坐标，然后根据抛物线和直线AD的解析式表示出P、Q的纵坐标，即可得到PQ的长；在中，PQ的长为M、P横坐标差的绝对值的2倍；在中，PQ的长正好等于M、P横坐标差的绝对值，由此可求出符合条件的P点坐标；（3）若四边形PQNM是菱形，首先必须满足四边形PMNQ是平行四边形，此时MN与PQ相等，由此可得到P点坐标，然后再判断PQ是否与PM相等即可；由于当NQPM时，四边形PMNQ是平行四边形，因此本题只需考虑MNPQ这一种情况；若四边形PMNQ是等腰梯形且MN、PQ为上下底，那么根据等腰梯形的对称性可知：Q、P的纵坐标的和应该等于N、M的纵坐标的和，据此可求出P、Q的坐标，然后再判断QN与PM是否平行即可解答：解：（1）在RtBDC中，ODBC，由射影定理，得：OD2=OBOC；则OB=OD2OC=1；B（-1，0）；B（-1，0），C（4，0），E（0，4）；设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4）（a0），则有：a（0+1）（0-4）=4，a=-1；y=-（x+1）（x-4）=-x2+3x+4；（2）因为A（-2，0），D（0，2）；所以直线AD：y=x+2；联立抛物线的解析式可求得F（1- ，3- ），G（1+ ，3+ ）；设P点坐标为（x，x+2）（1- x1+ ），则Q（x，-x2+3x+4）；PQ=-x2+3x+4-x-2=-x2+2x+2；易知M（ ， ），若以P、Q、M为顶点的三角形与AOD相似，则PQM为等腰直角三角形；以M为直角顶点，PQ为斜边；PQ=2|xM-xP|，即：-x2+2x+2=2（ -x），解得x=2- ，x=2+ （不合题意舍去）P（2- ，4- ）；以Q为直角顶点，PM为斜边；PQ=|xM-xQ|，即：-x2+2x+2= -x，解得x= ，x= （不合题意舍去）P（ ， ）故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2- ，4- ）或（ ， ）；（3）易知N（ ， ），M（ ， ）；设P点坐标为（m，m+2），则Q（m，-m2+3m+4）；（1- m1+ ）PQ=-m2+2m+2，NM= ；若四边形PMNQ是菱形，则首先四边形PMNQ是平行四边形，有：MN=PQ，即：-m2+2m+2= ，解得m= ，m= （舍去）；当m= 时，P（ ， ），Q（ ， ）此时PM= MN，故四边形PMNQ不可能是菱形；由于当NQPM时，四边形PMNQ是平行四边形，所以若四边形PMNQ是梯形，只有一种情况：PQMN；依题意，则有： （yN+yM）= （yP+yQ），即 + =-m2+