如图,平面直角坐标系中,点A、B、C在x轴上,点D、E在y轴上,OA=OD=2,OC=OE=4,DB⊥DC,直线AD与经过B、E.doc_第1页
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文档简介

、(2010江汉区)如图,平面直角坐标系中,点A、B、C在x轴上,点D、E在y轴上,OA=OD=2,OC=OE=4,DBDC,直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点,与其对称轴交于M点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合),PQy轴与抛物线交于点Q(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式;(2)是否存在点P,使得以P、Q、M为顶点的三角形与AOD相似?若存在,求出满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若抛物线的顶点为N,连接QN,探究四边形PMNQ的形状:能否成为菱形;能否成为等腰梯形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,请说明理由分析:(1)在RtODC中,根据射影定理即可求出OB的长,由此可得到B点的坐标,进而可用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)易知AOD是等腰Rt,若以P、Q、M为顶点的三角形与AOD相似,那么PQM也必须是等腰Rt;由于QPM90,因此本题分两种情况:PQ为斜边,M为直角顶点;PM为斜边,Q为直角顶点;首先求出直线AD的解析式,进而可得到M点的坐标;设出P点横坐标,然后根据抛物线和直线AD的解析式表示出P、Q的纵坐标,即可得到PQ的长;在中,PQ的长为M、P横坐标差的绝对值的2倍;在中,PQ的长正好等于M、P横坐标差的绝对值,由此可求出符合条件的P点坐标;(3)若四边形PQNM是菱形,首先必须满足四边形PMNQ是平行四边形,此时MN与PQ相等,由此可得到P点坐标,然后再判断PQ是否与PM相等即可;由于当NQPM时,四边形PMNQ是平行四边形,因此本题只需考虑MNPQ这一种情况;若四边形PMNQ是等腰梯形且MN、PQ为上下底,那么根据等腰梯形的对称性可知:Q、P的纵坐标的和应该等于N、M的纵坐标的和,据此可求出P、Q的坐标,然后再判断QN与PM是否平行即可解答:解:(1)在RtBDC中,ODBC,由射影定理,得:OD2=OBOC;则OB=OD2OC=1;B(-1,0);B(-1,0),C(4,0),E(0,4);设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x-4)(a0),则有:a(0+1)(0-4)=4,a=-1;y=-(x+1)(x-4)=-x2+3x+4;(2)因为A(-2,0),D(0,2);所以直线AD:y=x+2;联立抛物线的解析式可求得F(1- ,3- ),G(1+ ,3+ );设P点坐标为(x,x+2)(1- x1+ ),则Q(x,-x2+3x+4);PQ=-x2+3x+4-x-2=-x2+2x+2;易知M( , ),若以P、Q、M为顶点的三角形与AOD相似,则PQM为等腰直角三角形;以M为直角顶点,PQ为斜边;PQ=2|xM-xP|,即:-x2+2x+2=2( -x),解得x=2- ,x=2+ (不合题意舍去)P(2- ,4- );以Q为直角顶点,PM为斜边;PQ=|xM-xQ|,即:-x2+2x+2= -x,解得x= ,x= (不合题意舍去)P( , )故存在符合条件的P点,且P点坐标为(2- ,4- )或( , );(3)易知N( , ),M( , );设P点坐标为(m,m+2),则Q(m,-m2+3m+4);(1- m1+ )PQ=-m2+2m+2,NM= ;若四边形PMNQ是菱形,则首先四边形PMNQ是平行四边形,有:MN=PQ,即:-m2+2m+2= ,解得m= ,m= (舍去);当m= 时,P( , ),Q( , )此时PM= MN,故四边形PMNQ不可能是菱形;由于当NQPM时,四边形PMNQ是平行四边形,所以若四边形PMNQ是梯形,只有一种情况:PQMN;依题意,则有: (yN+yM)= (yP+yQ),即 + =-m2+

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