张雪明老师自主招生解题思路(上午).doc

自主招生解题思路（上午课程）01高校自主招生备考指南一、不忘高中以前的数学例如：（2012卓越）如图，半径为5的圆中，延长长度为8的弦至，使，作圆的切线，为切点，直径（在的劣弧上），若交于，求的长。二、重视高中现在的数学例如：（2012卓越）已知，直线与圆，求（1）直线与圆有交点的概率；（2）直线与圆的交点个数的数学期望。三、关注高中以后的数学例如：（2012香港大学）（1）求证；（2）求证；（3）求。四、关注学校特色及培养理念2010北大自主招生（三校联招）数学部分1（仅文科做），求证：2为边长为的正五边形边上的点证明：最长为（25分）3为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值（25分）4向量与已知夹角，在时取得最小值，问当时，夹角的取值范围（25分）5（仅理科做）存不存在，使得为等差数列（25分） 02解题思路生成简介一、名词解释TTie ta（联结）LLink lk（联系）AAssociate soet（联想）Tie（联结）现代汉语词典：结合在一起。百度：结合，连接。如：画一条直线把这两点联结起来。Link（联系）现代汉语词典：彼此结上关系。百度：广义而言，就是事物之间的有机关联，相互联络和结合。Associate（联想）现代汉语词典：由于某人或某物而想起其他相关的人或事物；由于某概念而引起其他相关的概念。百度：联想是暂时神经联系的复活，它是事物之间联系和关系的反应。二、TLA（三联）解题思路生成法如图：当你凭直觉认定这是一个男人的头时，就会由此找到他的眼镜、鼻子甚至鼻毛；而当你凭直觉认定这是一只老鼠时，就会由此发现它的耳朵、眼睛、胡子、尾巴。人们普遍具有直觉基础上的联想与建构能力。是“男人”还是“老鼠”？这是直觉选择的结果；而由此获得的“眼镜”、“鼻子”、“鼻毛”、“耳朵”、“眼睛”、“胡子”、“尾巴”就完全是人们在先前的直觉选择基础上，通过联想与建构的结果了。这一心理学现象的重要启示在于，在数学学习中，可以充分利用直觉选择基础上的联想建构力，引导学生进行“再发现”。基于认识论的联结、联系、联想哲学思想，我创设并长期实践TLA解题思路生成法。其基本思想见下表三、TLA（三联）解题思路生成法的核心理念TLA解题思路生成法，提倡：面对新颖的问题情景，强调构建生动的心智图象。分析过程中要善于捕捉问题的暗示信息。构造方法宜充分利用“原型”的启发功能。多进行一题多解、多题一解的尝试；多进行问题求解的最优化、简易化探索；跳出题海，追求问题解决的本质化方法，以不变应万变；以智慧战胜经验，以想法生成方法。四、TLA（三联）解题思路生成法的“五化”操作五化特殊化一般化抽象化符号化结构化五、典型示例l 联结问题1: 求值：(1)；(2)；(3)；(4).l 联系问题2: 研究：线段、三角形、四面体的重心。结论：见下表线段的重心三角形重心四面体重心定义性质坐标公式拓展结论l 联想问题3：为常数，当最小时，的值为_.问题4： 有一个三棱锥和一个四棱锥,它们的所有棱长都相等,现分别选择它们的完全相等的一个三角形面,将这个面完全粘合在一起,得到一个多面体,问这个多面体有多少个面?说明理由.l 心智图像的合理性体现在直观性、简洁性和准确性数学思路的生成通常需要借助合理的心智图像，需要学习者有条理地思考，所谓“从混沌中发现有序”就是这个道理。同样的一个线条，可以画成无章的杂图乱线，也可以绘出高傲的天鹅、俏丽的飞鸽。心智图像的合理性集中体现在直观性、简介性和准确性上。问题5：四个小孩玩球时打碎了玻璃。老师：“是谁把玻璃打碎的？”宝宝：“是可可。”可可：“是毛毛。”多多：“不是我。”毛毛：“可可说谎。” 如果他们四个人中只有一人说的是真话，那么打碎玻璃的是谁？问题6：判断方程根的个数.引申1：判断方程根的个数.引申2：判断方程根的个数.03思路生成联结一、方法模型模型1：模型2：二、典型示例问题1：已知是圆内部一点，则直线与此圆的位置关系是 .问题2：天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是（ ）A.椭圆 B.圆 C.双曲线的一支 D.抛物线问题3：用3个3，5个5排成一排，问能够排成多少个不同的8位数？问题4：求以、为未知数的五元一次不定方程的非负整数解的组数.问题5：三角形中，是中点，若，试用表示；引申1：三角形中，是上点，若，且，试用表示；引申2：四边形中，是中点，是中点，若，试用表示；引申3：四边形中，是上点，是上点，若，且，试用表示；引申4：四面体中，、分别是、上点，若、分别是、中点，试用表示；若，试用表示.问题6：线性距离之和最小问题 研究函数（其中为有理数）的最值。初始问题：单、双线性距离之和最小问题。例如：；。引申1：三个系数相等线性距离之和最小问题。例如：。引申2：多个系数相等线性距离之和最小问题。例如：引申3：多个系数不等（有理数）线性距离之和最小问题。例如：引申4：含参不等式的恒成立问题。例如：若，则实数的取值范围是什么？引申5：街道距离最值的布点问题。例如：在街道上择一地点建立供货站，使沿街各店铺到此供货站的距离之和为最小。引申6：复杂街道距离最值的布点问题。例如：在主街道上择一地点建立供货站，使位于沿街各支线末端的店铺（那些带的位置）到此供货站的距离之和为最小。引申7：更复杂街道距离最值的布点问题。例如：在主街道上择一地点建立供货站，使位于沿街各支线(有共线现象)末端的店铺（那些带的位置）到此供货站的距离之和为最小。引申8：平面格点距离最值问题。例如：某地街道呈现东西、南北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点为报刊零售点A（-2，2），B（3，1），C（3，4），D（-2，3），E（4，5），F（6，6）请确定一个格点（除零售点外）_为发行站，使 6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. 04思路生成联系一、方法模型二、典型示例l 化归问题1：函数的图象绕原点逆时针旋转90度得到的图像是函数（ ）的图象。(A) (B) (C) (D) 问题2：质点M在以下三个力：，的共同作用下，从点P（6，11）位移到了点Q（5，15），这三个力的合力对质点所做的功为（ ）A. 0 B. 2 C. 4 D. 8问题3：在一座城市中，横纵街道构成了矩形网格，若某人在43矩形一顶点A处，沿网格中的街道从点A驾车到点B的不同路径中，最短路径的条数是多少？引申1：在坐标系中，第一象限的坐标网格同样组成了例中的“街道”，任选三个整数格点，并求从点出发到该点最短路径条数？引申2：给出问题1的一般结论在坐标系中，从原点O(0,0)到整格点P(m,n)的最短路径条数是多少？观察整个图象，看看你得到了什么？引申3：“复合”街区情形，从A到B的最短路径条数是多少？。引申4：“变异”街区情形。如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有 种不同的走法 引申5： 空间情形。（1）在一座空间立体城市中，横纵竖街道构成了长方体形网格，若某人在435长方体一顶点A处，沿网格中的街道从点A到点B的不同路径中，最短路径的条数是多少？（2）在空间坐标系中，第一卦限的坐标网格同样组成了（1）中的“街道”，任选三个整数格点，并求从O点出发到该点最短路径条数？（3）给出（2）的一般结论即从原点O(0,0,0)到整格点P(m,n,r)的最短路径条数？考察你得到的结果，并与的展开式相联系,看看你能说明什么？l 类比问题4：在已知四面体内部有100个点，其中无三点共线，也无四点共面，以这些点及四面体的四个顶点为顶点构造新四面体，所得的那些四面体中任意两个之间都无公共体积，则一共可以构造多少个新四面体？问题5：球的两条弦长度不等，但长度均为确定值，我们把这两条弦的中点分别叫“小可”、“小爱”，若两条弦的端点在球面上作布朗运动，问“小可”与“小爱”是否有相遇的机会？l 化归与类比问题6：意大利匹萨饼店的伙计喜欢将饼切成形状各异的一块块。他们发现，每一个确定的刀数，都可以有一个最多的块数。例如，切一刀最多切成2块、切2刀最多切成4块。问切5刀最多可切几块？（是正整数）引申：平面内个圆，最多将此平面分割成多少个区域？引申：空间个平面，最多可将空间分割成多少个部分？问题7：对于椭圆E：+=1（ab0），（焦点为F1与F2 ），研究以下问题，并在双曲线K：=1（a，b0），（焦点为F1与F2 ）中提出类似问题。（1）过左焦点F1的弦AB，试求三角形ABF2的周长；（2）P是E上的一个不属于长轴的点，试确定PF1F2的右（左）旁切圆与长轴所在直线的切点位置；（3）A是E内的一个定点，试确定E上一个点P，使|PA|+|P F2|最小；（4）P是E上的一个点，且P对两个焦点的视角为，试确定PF1F2的面积；（5）P是E上的点，自焦点F1或F2引PF1F2的P角的外角平分线的垂线，垂足为Q，求Q的轨迹方程；（6）椭圆E的物理光学性质。05思路生成联想一、方法模型基于问题情景的联想基于可能性的选择构建方法成功问题解决失败，新的循环二、典型示例问题1：已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0. 求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的值域.问题2：求函数 的最小值.引申1: 在平面上找点，使之到一个凸四边形的各个顶点距离之和最小.引申2: 在空间找点,使之到一个正方体的八个顶点距离之和最小.引申3: 在平面上找点，使之到一个三角形的各个顶点距离之和最小.费马“三村短路”问题如何用一组公路将已知的不在一直线上的三个村庄连接起来，使公路的总长度最短？这是数学史上的一个著名问题，据说是法国大数学家费马向伽利略的高足、意大利物理学家托里拆利提出来的，用数学语言来表达，就是：已知平面上的不共线的三点A，B，C，试求一点P，使得PA+PB+PC最小. 关于费马“三村短路”问题主要结论有：（1）若三角形ABC的各个内角均小于则在其内部必有满足的点P，使得PA+PB+PC最小；（2）若三角形ABC中，则当P与A重合时，PA+PB+PC=AB+AC最小.我们把这样的点称为三角形的“最小点”.问题3：求证： 问题4：若对于任意的，都有，则（ ）A. B. C. D. 问题5： 对于任意的，有。06 解题思路生成特殊化一、方法模型初始问题特殊化或具体化获得结论或猜想或方法问题解决初始问题求解方案二、典型示例问题1: “三人行，必有吾师焉。”问百人中吾师至少几人？问题2: 如果奇函数在区间上是增函数，且最小值是5，则在区间上是 ( )A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5问题3: 已知下列命题中正确的是 （ ）若 则 若则若 则 若则问题4: 互不相等的三个正数成等差数列， x是的等比中项，y是的等比中项，那么三个数（ ）（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列（C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列问题5: 若曲线上的点的坐标都是方程的解，则下列结论中正确的是（）(A)方程的曲线是 (B)方程的曲线不是 (C)曲线上的点都在方程的曲线上 (D)以方程的解为坐标的点都在曲线上问题6: 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于6（C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3问题7: 命题：三角形三边长，若，则三角形是正三角形。此命题真假？问题8：过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于两点，若线段与的长分别为，则等于 （ ）（A） （B） （C） （D）问题9：（1）与正方体三条两两异面的棱所在直线均相交的直线有几条？（2）到互相垂直的的异面直线的距离相等的点有几个？问题10： 圆中，那么椭圆中怎样？问题11: ,是各不相同的正自然数，求证：问题12： 从可以获得什么猜想？你能证明你的猜想么？07 解题思路生成一般化一、方法模型初始问题一般化获得结论或规律或方法问题解决初始问题求解方案二、典型示例问题1：求与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（4，2）的双曲线方程。问题2：在ABC所在坐标平面内，求一点P，使+取得最小值。问题3：已知，猜想问题4：如图，蜜蜂家在8号房间，它从1号或2号房间进入，途经其它若干房间回家，如果蜜蜂在任何房间里只能进入相邻房间，且只能从小号房间进入大号房间，则蜜蜂回家的不同路径共有 （ ）A8种 B16种 C32种 D34种问题5：上楼梯的时候,每一步只能跨一级或两级,则登上一个10级楼梯的不同方法数有多少种?引申1、某人一步可以跨楼梯一级或两级或三级，讨论他登上级楼梯的方法数。引申2、某人一步可以随意跨楼梯一级或多级，讨论他登上级楼梯的方法数。问题6：圆形伞面是8个扇形组成，现用5种不同颜色对这8个区域染色，要求相邻区域颜色不同，问有多少种不同的染色方法？问题7：辛卜生公式、推导、应用请读者讨论以下问题。假如我们只会求圆柱体的体积，期望求与之等底等高的圆锥体的体积的近似值，那么以下那个图形的近似程度高？如果我们想得到圆锥体积的精确值，结合图形，提出一个方法，并进行尝试。几何体体积公式的一般化辛卜生公式辛卜生公式夹在两平行平面之间的几何体,如果被平行于这两平面的任何平面所截,截得的截面面积是截面高的(不超过三次的)多项式函数,那么这个几何体的体积,就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一.如图，一个几何体夹在两平行平面之间,用平行于底，且与下底距离为的平面来截该几何体，截得面积为：（），则该几何体的体积是：，其中依次为几何体的高、下底面积、上底面积、中截面面积.08 解题思路生成抽象化一、方法模型初始问题抽象(数学)化获得思路或等价问题问题解决等价问题思路二、典型示例问题1：有一种变压器，铁芯的截面是正十字形，为保证所需要的磁通，需要一定的截面积，现要求正十字形面积为，应如何设计正十字形的长和宽，才能使正十字形的外接圆周长最短（从而使绕在铁芯上的铜线最省）？引申1：某编辑在校阅教材时，发现这句：“从60角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中厘米在排版时比原稿上多1虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的_引申2：有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边上的球恰比正方形每边上多2个小球，球数为_.问题2：小可从家里出发到车站去接妹妹小爱,在他出发的同时,妹妹也从车站向家里走,小可动身的时候,家中的小狗阿黑随即向车站方向奔跑,遇到妹妹后立即返回奔向小可,遇到小可又立即返回奔向妹妹,就这样来回不停直到兄妹相遇。若家里与车站相距12公里，小可速度每小时2公里，小爱速度每小时1公里，阿黑速度每小时15公里，问从出发直到兄妹相遇，阿黑一共跑了多少公里？问题3： 用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的。已知一个铁钉受击次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，试确定k。 问题4：两个人坐在一个长方形棋盘旁，相继轮流在棋盘上放同样大小的棋子。条件是棋子一定要平放在桌面上，后放的不可与先放的重叠。游戏进行下去，桌面上最终会布满棋子而不能再放棋子。若谁有机会放上最后一枚的谁就获胜。问游戏开始时先放的能胜还是后放的能胜？问题5：设有个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，且任何两机场之间的距离都不相等。试证：任意机场降落的飞机不可能超过5架。问题6：某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？问题7：将半径为R的四个球，两两相切的放在桌面上，求上面一个球的球心与桌面的距离.问题8：下图是2008年北京奥运会的会徽图案“中国印”，它由四个色块构成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两块相联结（如同架桥）。现在要求只用三条线段将四个色块联成一体，不同的连接方案共有（ ）A4种 B12种 C16种 D24种问题9：(探索性问题)在水平桌面上放一只内壁光滑的且近似抛物面形的玻璃水杯，取一些长短不一的细直金属棒随意丢入该水杯中,发现呈现如图所示的现象. (1)猜想交汇点性质;(2)结合猜想,根据物理学原理，对上述现象作出假说; (3)将假说数学化;(4)证明假说;(5)用一句话评价你的探索过程.问题10：山有5只猴，得到了一堆桃子，他们发现桃子不能被均匀分5份，于是猴子们决定先去睡觉，明天再讨论如何分配。夜深人静的时候，猴子A偷偷起来，吃掉了一个桃子后，发现余下的桃子正好可以平均分成5份，于是它拿走了一份；接着猴子B也起来先偷吃了一个，结果发现余下的桃子恰好又可以被平均分成5份，于是它也拿走了一份；后面的猴子C、D、E依次如法炮制，先偷吃一个，然后将余下的桃子平均分成5份并拿走了自己的一份，问：这一堆桃子至少有几个？09 解题思路生成符号化一、方法模型模型1：初始问题符号化或数学语言化获得思路或等价问题问题解决等价问题思路模型2：二、典型示例问题1：给朋友打电话，告诉他（她）你面前这张图的样子，请在横线上写上你的电话语言 。问题2：平面截正方体，截口是三角形，则该三角形是锐角三角形。问题3：设，求证：。问题4：歌德巴赫（GoldbachC德16901764）曾研究过“所有形如（，为正整数）的分数之和”问题写出你对此问题的研究结论： 问题5：甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为. 分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率.问题6：用3元与5元钞票可以组成任何价值为元的款项，而。问题7： 新区新建有5个住宅小区（A、B、C、D、E），现要铺设连通各小区的自来水管道，如果它们两两之间的线路长如下表(距离单位：km)：ABCDEA5785B352C54D4E 请问最短的管线长为 （ ） A.13 B.14 C.15 D.17问题8：已知二次曲线的方程：（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；（2）若双曲线与直线有公共点且实轴最长，求双曲线方程；（3）、为正整数，且，是否存在两条曲线、，其交点与点，满足？若存在，求、的值；若不存在，说明理由OyxB1A2A1B2问题9：如图所示，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，直角顶点在曲线上试求的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在10 解题思路生成结构化一、方法模型初始问题构造相关模式或结构获得思路或等价问题问题解决等价问题思路二、典型示例问题1：已知圆上有12个点，每两点连一线段，求所有线段在圆内最多有几个交点.问题2： 若方程仅表示一条直线，则的取值范围 ( )(A)或 (B) (C) (D)问题3：已