南京航空航天大学《高等数学》103格林(Green)公式(上).pdf

1 区域连通性的分类 格林 Green 公式 区域连通性的分类 格林 Green 公式 一个简单应用一个简单应用 2 D 设设D D为平面区域 如果为平面区域 如果D D内任一闭曲线所围 成的部分都属于 内任一闭曲线所围 成的部分都属于D D 则称 则称D D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 为平面单连通区域 否则称为复连通区域 复连通区域单连通区域复连通区域单连通区域 D 一 区域连通性的分类一 区域连通性的分类 3 设空间区域G 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G 则称 设空间区域G 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G 则称G G是空间二维单连通域 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G 的曲面 则称G为空间一维单连通区域 一维单连通 二维单连通 一维单连通 二维不连通 一维不连通 二维单连通 是空间二维单连通域 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G 的曲面 则称G为空间一维单连通区域 一维单连通 二维单连通 一维单连通 二维不连通 一维不连通 二维单连通 G G G 4 连成与由连成与由 21 LLL组成与由组成与由 21 LLL 边界曲线L的正向边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时 当观察者沿边界行走时 区 域 区 域D总在他的左边总在他的左边 2 L D 1 L 2 L 1 L D 的正向的边界曲线规定的正向的边界曲线规定LD 二 格林 Green 公式二 格林 Green 公式 5 定理1定理1 设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围 成 函数 围 成 函数 yxQyxP及及在在D上具有一阶连 续偏导数 则有 上具有一阶连 续偏导数 则有 L D QdyPdxdxdy y P x Q 1 其中 1 其中L是是D的取正向的边界曲线 公式 1 叫做 的取正向的边界曲线 公式 1 叫做格林公式格林公式 6 21 bxaxyxyxD 证明 1 证明 1 若区域若区域D既是既是 X型 又是 型 又是 Y型型 即平行于 坐标轴的直线和 即平行于 坐标轴的直线和L至 多交于两点 至 多交于两点 21 dycyxyyxD y x o a b D c d 1 xy 2 xy A B C E 2 yx 1 yx 7 dx x Q dydxdy x Q y y d c D 2 1 d c d c dyyyQdyyyQ 12 EACCBE dyyxQdyyxQ L dyyxQ 同理可证同理可证 L D dxyxPdxdy y P y x o d 2 yx D c C E 1 yx A B d c d c dyyyQdyyyQ 12 CAECBE dyyxQdyyxQ L D dyyxQdxdy x Q 8 L D 证明 2 证明 2 两式相加得两式相加得 L D QdyPdxdxdy y P x Q 将将D分成三个既是分成三个既是 X型又是型又是 Y型的区域型的区域 1 D 2 D 3 D 321 DDDD dxdy y P x Q dxdy y P x Q 1 L 2 L 3 L 1 D 2 D3 D l1 l2 l3 若区域若区域D由按段光滑的闭 曲线围成 由按段光滑的闭 曲线围成 如图如图 9 321 DDD dxdy y P x Q dxdy y P x Q dxdy y P x Q 332211 lLlLlL QdyPdxQdyPdxQdyPdx L QdyPdx 32 1 来说为正方向对来说为正方向对DLLL 321 LLL QdyPdxQdyPdxQdyPdx L D 1 L 2 L 3 L 1 D 2 D3 D l1 l2 l3 10 D 3 L 2 L G F C E 1 L A B 证明 3 证明 3 若区域不止由一条闭曲 线所围成 添加直线段 若区域不止由一条闭曲 线所围成 添加直线段ABAB CECE 则 则D的边界曲线由的边界曲线由ABAB 2 L BA AFC CE BA AFC CE 3 L ECEC及及CGACGA构成 由 构成 由 2 知知 D dxdy y P x Q CEAFCBALAB 2 CGAECL QdyPdx 3 L QdyPdx 231 LLL QdyPdx 32 1 来说为正方向对来说为正方向对DLLL 11 便于记忆形式便于记忆形式 L D QdyPdxdxdy QP yx 格林公式的实质 格林公式的实质 沟通了沿闭曲线的积分与 二重积分之间的联系 沟通了沿闭曲线的积分与 二重积分之间的联系 上有连续的一阶偏导数在 有方向的闭 使用格林公式 上有连续的一阶偏导数在 有方向的闭 使用格林公式 LyxQyxP LL 3 2 1 注 12 DD L dyxdxy ydxxdyxy 2222 22 的正向闭路是沿圆周 计算 的正向闭路是沿圆周 计算 xyxL ydxxdyxy L 2 22 22 22 x y P y x Q 2 3 cos 4 2 2 2 2 2 4 4 cos2 0 3 ddrrd 例例1 解解yxPxyQ 22 13 2 3 16 8 sin sin8 sin sin1 2 sin cos2cos31 sin sin cos1 cossin cos1 4 0 2 2 2 0 2 2 0 22 2 2 0 2 22 2 dttt tdtt tdttt dttttttt ydxxdyxy L 20 sin cos1 ttytx sin2cos cos2cos yx令又解 令又解 tytxcos sin 又解又解 14 222 22 2222 yx yx x Q y P yx x Q yx y P 用格林公式 用格林公式 例例2 解法二解法二 点处不连续在点处不连续在 0 0 QP C x y o 1 222 0 DCCCD CDCyxC o 围成的区域为与围成的区域 记由为 取顺时针 作一圆周 为半径为圆心以 围成的区域为与围成的区域 记由为 取顺时针 作一圆周 为半径为圆心以 C 1 2 2 2 2 22 逆时针计算 逆时针计算 b y a x C yx xdyydx I C sin cos tbytax 令直接计算令直接计算 解法一解法一 15 0 1 D CC dxdy y P x Q QdyPdx 由格林公式得由格林公式得 CC 2 22 C yx ydxxdy 2 3 22 C yx ydxxdy 得又由第二节例得又由第二节例 C x y o C 16 上有连续的一阶偏导数在 分段光滑沿正向 边界 有界闭 格林公式的条件要记住 上有连续的一阶偏导数在 分段光滑沿正向 边界 有界闭 格林公式的条件要记住 DQP L D 2 22 任意正向光滑封闭曲线是包含坐标原点在内的 曲线积分从而可证明 任意正向光滑封闭曲线是包含坐标原点在内的 曲线积分从而可证明 L yx ydxxdy L 注 17 的弧段 到点经正弦曲线为从点 计算 的弧段 到点经正弦曲线为从点 计算 0 sin 0 0 sin cos2 A xyOOA dyyyedxye OA xx 1 5 1 1 1 1 5 1 0 sin 00 eee dxeydyedx ydxdye x x x OA D x AOOAOOA 例例3 解解 18 格林公式格林公式 L D QdyPdxdxdy y P x Q 取取 xQyP 得得 L D ydxxdydxdy2 闭区域闭区域D的面积 的面积 L ydxxdyA 2 1 取取 0 xQP 得 得 L xdyA 取取 0 QyP 得 得 L ydxA 计算平面面积 计算平面面积三 一个简单应用三 一个简单应用 19 cossin3 sin cos3 22 ttatyttatx 所围成的图形面积 用曲线积分计算星形线 所围成的图形面积 用曲线积分计算星形线 tay tax L 3 3 sin cos tdttaxdyydxS L 22 2 0 2 sincos3 2 1 2 1 例例4 解解 8 3 2sin 8 3 2 2 0 2 2 a dtt a 20 L D b