对数学结论的推广与实践.doc

论 推 广推广是数学研究中极其重要的手段之一，数学自身的发展在很大程度上依赖于推广数学家总是在已有知识的基础上，向未知的领域扩展，从实际的概念及问题中推广出各种各样的新概念、新问题 一个数学命题由条件和结论两个部分组成，正确的数学命题揭示了条件与结论之间的必然联系一个数学命题的条件改变了，其结论也往往随之发生相应的变化推广就是扩大命题的条件中有关对象的范围，或扩大结论的范围，即从一个事物的研究过渡到包含这一类事物的研究在数学命题推广的过程中，所使用的主要方法是归纳和类比从推广的方向看，有纵向推广和横向推广学科命题在本学科内深入发展叫做纵向推广；将本学科命题移植或类比引伸到别的学科中去叫做横向推广具体操作推广时，主要从考察命题的条件、结论或解题方法入手获得启发推广1 从低维到高维的推广在初等数学中，我们习惯上把直线叫做一维空间，平面叫做二维空间，立体几何中所说的“空间”叫做三维空间除此之外，“维数”还泛指未知数的个数、变量的个数、方程的次数、不等式的次数、行列式的阶数、数表的阶数等数学家喜欢将数学问题从低维推广到高维，高维的问题往往比低维的问题要困难、复杂一些，因此将低维问题推广到高维问题也是数学竞赛命题者所喜爱的命题方法之一1963年第26届莫斯科MO有这样一道试题：若a，b，c为任意正数，求证： 而下面的题目是流传甚广的（1988年被移用为第二届友谊杯数学竞赛题）：若a，b，c是三角形的三边，且，则 这样一来，通过观察，的结构特点，可归纳出不等式：【题1】（第28届IMO预选题）试证：若a，b，c是三角形的三边，且，则 运用归纳、类比的方法还可将作进一步推广观察，其左边是二阶循环的形式，我们联想到，若循环一阶会有怎样的结果？通过推敲得到： 其中又容易联想到： 由，归纳出更一般的不等式：【题2】（1984年全国高中数学联赛试题）设都是正数求证：再考虑将从3元（a，b，c）向n元（a1，a2，an）推广：若a1，a2，an为正数，则 式左边分式都是一次的，我们猜测能否升次，于是有【题3】（第30届IMO预选题）设，ai（i1，2，n）是正实数，证明： 关于这个问题的进一步研究，见文【1】。我们知道，平面上给定n个点（n3），任三点不共线，则这n个点中一定存在两点A、B，使其余n2个点都在直线AB外，这太平凡了，不过让我们耐心一点，看能否作一点推广若将两点A、B扩充为三点A、B、C会有什么结果呢？任三点不共线，则是否存在三点A、B、C构成一个三角形，使得其余n3个点一定在ABC之外呢？回答是肯定的于是有【题4】平面上给定n个点（n3），任意三点不共线求证：在这n个点中存在三个点A，B，C，使其余n3个点都在ABC之外在此基础上，再向空间推广，将ABC与四面体ABCD作类比，有【题5】空间给定n个点（n4），任意三点不共线，任意四点不共面求证：在这n个点中存在四个点A、B、C、D，使其余n4个点都在四面体ABCD之外2 从特殊向一般的推广特殊与一般是数学研究中经常遇到的一对矛盾，当解决一个特殊的数学问题之后，人们往往力图把这一结果扩展开来，从不同角度加以推广从特殊向一般推广的主要类型有：2.1概念型：先找出已知命题中的条件或结论中的某个对象，把它作为类概念，然后扩展到与它邻近的种概念新加坡1988年有这样一道数学竞赛题（注：叙述略有改动）：一个梯形被两条对角线分成四个三角形若S1、S2分别表示以梯形上、下底为底边且有公共顶点的两个三角形的面积，则梯形的面积，即将此题条件中的对象梯形作为类概念，扩展到与它邻近的种概念凸四边形，而其他条件不变，会有什么结论呢？经过推演可得：【题6】设凸四边形ABCD的对角线相交于O，AOB和OCD的面积分别为S1、S2，四边形ABCD的面积为S，求证：，其中等号成立当且仅当ABCD2.2状态型：把一个仅对某种或几种特殊状态（位置）成立的命题，推广到对一般状态（位置）都成立两千三百多年前，古希腊的学者欧几里德系统地整理了当时的数学知识，写成了千古流传的名著几何原本。几何原本共13卷，包含了465条命题。有趣的是，有一条非常基本的重要命题，它没有受到欧几里德时代数学家的注意和重视（之后的两千多年中也没有得到应有的重视）。如果当初欧几里德或别的数学家重视了，几何学的历史有可能被改写，几何难学、几何解题无定法的局面就早已改观了。这是几何原本第6卷的命题一：“等高三角形或平行四边形，他们彼此相比如同他们的底的比”。这里所谓“他们彼此相比”指的是两个三角形或平行四边形的面积比。命题中最有用的部分，是现在小学生都知道的事实，我们把它当做一个基本命题：等高三角形的面积比等于底之比（图1）。具体地，若P，A，Q三点在一直线上，则对任一点B有：这里也用来表示三角形的面积。从基本命题只要再前进一步，就得到了在平面几何中举足轻重的共边定理。若直线PQ和AB交于点M，则（如图2，有4种情形）共边定理和基本命题的共同点，都是把两个三角形的面积比化成共线线段之比。共边定理中若B在直线PQ上，就回到了基本命题。所以，它是基本命题的推广。基本命题如图1中的线段PQ，AB的位置变得更一般些，使A不在直线PQ上，再添上交点M，就成了共边定理的图形了。这一点改变很重要。欧几里德时代的几何学家，就是没有注意到这一点改变，才失去了这条无比重要的共边定理，也错过了发现平面几何机械化解题方法的机会。共边定理涉及平面几何构图中最常见的一个步骤：两直线AB，PQ交于一点M。要确定交点M的位置，本是一件不容易的事，它相当于解二元一次联立方程组。而共边定理却用两个三角形的面积比简单地表示出M在线段PQ上的位置。等式右端的M，在左端不出现了，也就是被消去了。这个事实，在几何问题的机器求解中起了关键的作用。详见文【2】。2.3数值型：把一个仅对某些自然数成立的命题，推广到对所有的自然数成立，或者把题目的条件或结论中的某些数值扩展到更一般的情形文【3】 P37第10题为：十个学生参加一次考试，试题十道，已知没有两个学生做对的题目完全相同，证明在这十道试题中可以找到一道试题，将这道试题取消后，每两个学生所做对的题目仍然不会完全相同考虑更一般的情况，将数值10推广为任意自然数n，并将考试做题改述为乒乓球赛就有：【题7】（1987年全国高中数学联赛试题）n（3）名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同试证明，总可从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然不完全相同有些数学问题可以从不同角度，沿着多种途径推广例如，很久以前有这样一道题：在边长为1的正方形内，任意放置5个点，求证：其中一定可以找到两个点，它们的距离不大于设想把两点改为3点，两点之间的距离用3点作为顶点的三角形面积来代替，则有【题8】（1963年北京市数学竞赛试题）在一个边长为1的正方形内任意放置9个点，证明：在以这些点为顶点的三角形中必有一个三角形，它的面积不大于设想将9点推广至101点，则有【题9】（第27届莫斯科MO试题）在边长为1的正方形中任取101个点（不一定都在正方形内部），其中任意3点不共线证明：其中必定存在某3点，以它们为顶点的三角形的面积不大于001还可将101个点推广到n个点，而001变为将正方形与立方体类比，三角形与四面体类比，题8还可从平面向空间推广，把3点改为4点，三角形的面积用任4点为顶点的四面体的体积来代替，则有【题10】在一个边长为1的立方体内任意地给定25个点证明：在以这些点为顶点的四面体中必有一个四面体，它的体积不大于3 从离散到连续的推广实数，是从自然数系演变扩充而得到的。自然数是全序集，实数也是全序集。那么，能不能把关于自然数的数学归纳法推广到实数系里去呢？数学归纳法的正确性，由自然数的一个性质来保证：“非空的自然数集里必有最小数”。从这一点着眼，又建立了超限归纳法，它可以用于任一个“良序集”。因为，良序集正是这样的全序集：“它的任一非空子集，有最小元素”。实数集，按自然大小顺序，它的子集不一定有最小数。这给归纳推理造成了困难。也许正是因为这个原因，这个很容易想到的工具始终没有被人们使用过。确实，我们的思想常受古圣先哲的限制，因而很少去追求珍贵遗产中的不足之处，其实，变通一下归纳法的形式，就能绕过实数集按自然大小非良序集的困难。让我们比较一下两种归纳法： 关于自然数的数学归纳法设是涉及一个自然数的命题：如果：（1）有某个，使对一切有真。（2）若对一切有真，则对一切也真。那么，对一切自然数，真。关于实数的数学归纳法设是涉及一个实数的命题：如果：（1）有某个，使对一切有真。（2）若对一切有真，则有，使对一切也真。那么，对一切实数，真。左边，是大家熟知的数学归纳法。右边，是我们提出来的连续归纳法。两种归纳法，何其相似乃尔！关于它的正确性、应用及它与现在常用的关于实数的命题的关系，详见文【4】。由于推广命题的过程中，所使用的方法主要是归纳和类比，因此推广后的命题有真有假，对于假命题一方面可考虑增加条件构造出真命题，另一方面可要求寻求反例例如，下述不等式是极为常见的，即 若考虑将变元从三元推广到元，则有【题11】（第32届IMO加拿大训