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文档简介
等差数列前n项和公式的两个侧重摘要：本文从在思想方法的角度给出了等差数列前n项和两个公式的侧重点。 关键词：等差数列 思想 前n项和公式我们知道，教材就等差数列前n项和给出了两个公式：设等差数列的前n项和公式和为，公差为，则 （公式一） （公式二） 这两个公式在解决问题时如何使用，下面举例说明。以下,不再说明。一 侧重于函数方程思想的公式一1 方程思想：所谓方程思想就是将题目条件运用前n项和公式，表示成关于首项a1和公差d的两个方程，通过解决方程来解决问题。例1 已知an为等差数列，前10项的和s10=100，前100项的和s100=10，求前110项的和s110.剖析：方程的思想，将题目条件运用前n项和公式，表示成关于首项a1和公差d的两个方程.解析：设an的首项为a1，公差为d，则解得s110=110a1+110109d=110.拓展：观察结构特点，将公式一做如下变形：，在处理问题是会更方便。例2 如果等差数列的前4项和是2，前9项和是，求其前n项和公式。解：由变形公式得： 将代入得：2 函数思想将，当，数列为常数列；当，则是关于n的二次函数，若令则。此时可利用二次函数的知识解决。例题3 设等差数列满足，且，则的前多少项的和最大？解析：思路一：由3 a8=5a13得：d=a1,若前n项和最大，则，又a10得：，n=20,即的前20项和最大。这一做法为通法。思路二：,当且仅当时n最大。点评：这一做法突显了数列的函数特征。思路三：由得,又，的图象是开口向下的抛物线上的点列，对称轴恰为，故时sn最大。点评：这一做法中几乎没有运算，抓住了题目条件，结合数列的函数特性做处理，显得十分巧妙。二 侧重于等差数列性质的公式二1 侧重于性质：若则。有些涉及等差数列前项和的题目，常与等差数列的上述性质融合在一起，将与其他条件进行转换。例题4 一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第七项等于（ ） a. 22b. 21c. 19d. 18解：设该数列有项且首项为，末项为，公差为，则依题意有 结合上述性质可得 代入(3)有 从而有 又所求项恰为该数列的中间项， 故选d 点评：依题意能列出3个方程，若将作为一个整体，问题即可迎刃而解。在求时，巧用等差中项的性质也值得关注。知识的灵活应用，来源于对知识系统的深刻理解。2 侧重于等差中项利用等差中项，可以实施等差数列前项和与其通项的转换：例题5 在等差数列和中，它们的前项和分别为，且，则的值
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