1991年全国考研数学一真题.pdfVIP

1991991 1 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学数学 一一 试题 试题 一 填空题一 填空题 本题满分本题满分 1515 分分 每小题每小题 3 3 分分 1 设 2 1 cos xt yt 则 2 2 d y dx 2 由 方程 222 2xyzxyz 所 确定 的 函数 zz x y 在 点 1 0 1 处 的全 微 分 dz 3 已知两条直线的方程是 1 123 101 xyz L 2 21 211 xyz L 则过 1 L且平行于 2 L 的平面方程是 4 已知当0 x 时 1 2 3 1 1ax 与cos1x 是等价无穷小 则常数a 5 设 4 阶方阵 5 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 2 0 0 1 1 A 则A的逆阵 1 A 二 选择题二 选择题 本题满分本题满分 1515 分分 每小题每小题 3 3 分分 1 曲线 2 2 1 1 x x e y e A 没有渐近线 B 仅有水平渐近线 C 仅有铅直渐近线 D 既有水平渐近线又有铅直渐近线 2 若连续函数 f x满足关系式 2 0 ln2 2 x t f xfdt 则 f x等于 A ln2 x e B 2 ln2 x e C ln2 x e D 2 ln2 x e 3 已知级数 1 1 1 2 n n n a 21 1 5 n n a 则级数 1 n n a 等于 A 3 B 7 C 8 D 9 4 设D是xOy平面上以 1 1 1 1 和 1 1 为顶点的三角形区域 1 D是D在第一象限的部 分 则 cos sin D xyxy dxdy 等于 A 1 2cos sin D xydxdy B 1 2 D xydxdy C 1 4 cos sin D xyxy dxdy D 0 5 设n阶方阵A B C满足关系式ABCE 其中E是n阶单位阵 则必有 A ACBE B CBAE C BACE D BCAE 三 三 本题满分本题满分 1515 分分 每小题每小题 5 5 分分 1 求 0 lim cos x x x 2 设n是曲面 222 236xyz 在点 1 1 1 P处的指向外侧的法向量 求函数 22 68xy u z 在点P处沿方向n的方向导数 3 22 xyz dV 其中 是由曲线 2 2 0 yz x 绕z轴旋转一周而成的曲面与平面4z 所 围成的立体 四 四 本题满分本题满分 6 6 分分 在过点 0 0 O和 0 A 的曲线族sin 0 yax a 中 求一条曲线L 使沿该曲线从O到 A的积分 3 1 2 L y dxxy dy 的值最小 五 五 本题满分本题满分 8 8 分分 将函数 2 11 f xxx 展开成以 2 为周期的傅立叶级数 并由此求级数 2 1 1 n n 的和 六 六 本题满分本题满分 7 7 分分 设函数 f x在 0 1 上连续 0 1 内可导 且 1 2 3 3 0 f x dxf 证明在 0 1 内存在一点c 使 0fc 七 七 本题满分本题满分 8 8 分分 已知 1 1 0 2 3 2 1 1 3 5 3 1 1 2 1 a 4 1 2 4 8 a 及 1 1 3 5 b 1 a b为何值时 不能表示成 1234 的线性组合 2 a b为何值时 有 1234 的唯一的线性表示式 并写出该表示式 八 八 本题满分本题满分 6 6 分分 设A为n阶正定阵 E是n阶单位阵 证明AE 的行列式大于 1 九 九 本题满分本题满分 8 8 分分 在上半平面求一条向上凹的曲线 其上任一点 P x y处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ长度的倒数 Q是法线与x轴的交点 且曲线在点 1 1 处的切线与x轴平行 十 填空题十 填空题 本题满分本题满分 6 6 分分 每小题每小题 3 3 分分 1 若随机变量X服从均值为 2 方差为 2 的正态分布 且 240 3PX 则 0P X 2 随机地向半圆 2 02yaxx a为正常数 内掷一点 点落在半圆内任何区域的概率与区 域的面积成正比 则原点和该点的连线与x轴的夹角小于 4 的概率为 十一 十一 本题满分本题满分 6 6 分分 设二维随机变量 X Y的概率密度为 2 2 0 0 0 xy exy f x y 其他 求随机变量2ZXY 的分布函数 1991991 1 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学数学 一一 试题参考答案及 试题参考答案及解析解析 一 填空题一 填空题 本题满分本题满分 1515 分分 每小题每小题 3 3 分分 1 答案 3 sincos 4 ttt t 解析 这是个函数的参数方程 满足参数方程所确定函数的微分法 即 如果 xt yt 则 dyt dxt 所以 sin 2 dy dyt dt dx dxt dt 再对x求导 由复合函数求导法则得 2 2 sin1 22 d yddydtdt dxdt dxdxdttt 23 2 cos2sin1sincos 424 tttttt ttt 2 答案 2dxdy 解析 这是求隐函数在某点的全微分 这里点 1 0 1 的含义是 1 0 1zz 将方程两边求全微分 由一阶全微分形式不变性得 222 222 0 2 d xyz d xyz xyz 再由全微分四则运算法则得 222 xdxydyzdz xy dzydxxdy z xyz 令1 0 1xyz 得 2 dxdz dy 即2dzdxdy 3 答案 320 xyz 解析 所求平面 过直线 1 L 因而过 1 L上的点 1 2 3 因为 过 1 L平行于 2 L 于是 平行于 1 L和 2 L的方向向量 即 平行于向量1 1 0 1 l 和向量 2 2 1 1 l 且两向量不共线 于是平面 的方程 123 1010 211 xyz 即320 xyz 4 答案 3 2 解析 因为当0 x 时 1 1 sin 1 1 n xxxx n 当0 x 时 2 0ax 所以有 1 2222 3 111 1 1 cos1sin 322 axaxxxx 所以 1 2 2 3 00 2 1 1 12 3 limlim 1 cos13 2 xx ax ax a x x 因为当0 x 时 1 2 3 1 1ax 与cos1x 是等价无穷小 所以 2 1 3 a 故 3 2 a 5 答案 1200 2500 12 00 33 11 00 33 解析 为求矩阵的逆可有多种办法 可用伴随 可用初等行变换 也可用分块求逆 根据本题的 特点 若知道分块求逆法 则可以简单解答 注意 1 1 1 00 00 AA BB 1 1 1 00 00 AB BA 对于 2 阶矩阵的伴随矩阵有规律 ab A cd 则求A的伴随矩阵 abdb A cdca 如果0A 这样 1 11 abdbdb cdcacaAadbc 再利用分块矩阵求逆的法则 1 1 1 00 00 AA BB 易见 1 1200 2500 12 00 33 11 00 33 A 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 5 个小题个小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 1 答案 D 解析 由于函数的定义域为0 x 所以函数的间断点为0 x 22 22 000 11 limlimlim 11 xx xx xxx ee y ee 所以0 x 为铅直渐近线 22 22 11 limlimlim1 11 xx xx xxx ee y ee 所以1y 为水平渐近线 所以选 D 相关知识点 铅直渐近线 如函数 yf x 在其间断点 0 xx 处有 0 lim xx f x 则 0 xx 是 函数的一条铅直渐近线 水平渐近线 当lim x f xa a 为常数 则ya 为函数的水平渐近线 2 答案 B 解析 令 2 t u 则2 2tu dtdu 所以 2 00 ln22 ln2 2 xx t f xfdtf u du 两边对x求导 得 2 fxf x 这是一个变量可分离的微分方程 即 2 d f x dx f x 解之得 2 x f xCe 其中C是常数 又因为 0 0 0 2 ln2ln2ff u du 代入 2 x f xCe 得 0 0 ln2fCe 得 ln2C 即 2 ln2 x f xe 3 答案 C 解析 因为 1 1234212 1 1 n nnn n aaaaaaa 1234212 nn aaaaaa 212212 111 nnnn nnn aaaa 收敛级数的结合律与线性性质 所以 1 221 111 1 523 n nnn nnn aaa 而 1234212 1 nnn n aaaaaaa 212212 111 nnnn nnn aaaa 538 故应选 C 4 答案 A 解析 如图 将区域D分为 1234 D D D D四个子区域 显然 12 D D关于y轴对称 34 D D关于x轴对称 令 1 2 cos sin D D Ixydxdy Ixydxdy 由于xy对x及对y都是奇函数 所以 1234 0 0 DDDD xydxdyxydxdy 而cos sinxy对x是偶函数 对y是奇函数 故有 34121 cos sin0 cos sin2cos sin DDDDD xydxdyxydxdyxydxdy 所以 1 12 cos sin 2cos sin DD xyxy dxdyIIxydxdy 故选 A 5 答案 D 解析 矩阵的乘法公式没有交换律 只有一些特殊情况可以交换 由于A B C均为n阶矩阵 且ABCE 对等式两边取行列式 据行列式乘法公式 1A B C 得到0A 0B 0C 知A B C均可逆 那么 对于ABCE 先左 乘 1 A 再右乘A有 1 ABCEBCABCAE 故应选 D 其实 对于ABCE 先右乘 1 C 再左乘C 有 1 ABCEABCCABE 三 三 本题满分本题满分 1515 分分 每小题每小题 5 5 分分 1 解析 这是1 型未定式求极限 1 cos1 cos1 00 lim cos lim 1 cos1 x xx x xx xx 令cos1xt 则0 x 时0t 所以 1 1 cos1 00 lim 1 cos1 lim 1 xt xt xte 所以 0 1 cos1 cos1 cos1 lim cos1 00 lim 1 cos1 lim x xx x xxx x xx xee 因为当0 x 时 sin xx 所以 2 2 000 2 sin2 22 cos1 limlimlim 2 xxx xx x xxx 故 0 cos1 lim 2 0 lim cos x x x x x xee 2 解析 先求方向n 的方向余弦 再求 uuu xyz 最后按方向导数的计算公式 coscoscos uuuu nxyz 求出方向导数 曲面 222 236xyz 在点 1 1 1 P处的法向量为 1 1 1 4 6 24 6 22 2 3 1 P xyzxyz 在点 1 1 1 P处指向外侧 取正号 并单位化得 22 11 2 3 12 3 1cos cos cos 14 231 n 又 2222 1 1 1 2222 1 1 1 2222 22 1 1 1 666 14 6868 888 14 6868 6868 14 P P P P P P uxx x zxyzxy uyy y zxyzxy xyxyu zzz 所以方向导数 coscoscos uuuu nxyz 6283111 14 71414141414 3 解析 由曲线 2 2 0 yz x 绕z轴旋转一周而围成的旋转面方程是 22 2xyz 于是 是由旋转抛物面 22 1 2 zxy 与平面4z 所围成 曲面与平面的交线是 22 8 4xyz 选用柱坐标变换 令cos sin xryrzz 于是 02 04 02zrz 因此 22 Ixyz dV 422 2 000 z dzdrz rdr 2 42 4 0 0 2 42 rz r rr z dz 4 2 0 256 4 3 z dz 四 四 本题满分本题满分 6 6 分分 解析 曲线sin 0 yaxx 则cosdyaxdx 所以 3 1 2 L Iy dxxy dy 3 0 1 sin 2sin cos axxaxax dx 2 33 0 1sin2cossin2 2 a axaxxx dx 2 33 000 sin2cossin2 2 a axdxaxxdxxdx 2 32 000 cos1 cos2sinsin22 4 a axdxaxdxxd x 2 33 00 0 1 coscos2sincoscos2 34 a axxa xxxx 3 4 4 3 aa 对关于a的函数 3 4 4 3 Iaa 两边对a求导数 其中0a 并令0 I 得 2 440Ia 所以1a 且 0 01 0 1 Ia Ia 故1a 为函数 3 4 4 0 3 Iaa a 的极小值点 也是最小值点 故所求的曲线为 sin 0 yxx 五 五 本题满分本题满分 8 8 分分 解析 按傅式级数公式 先求 f x的傅式系数 n a与 n b 因 f x为偶函数 所以 1 sin0 1 2 3 l n l n bf xxdxn ll 0 12 cos cos ll n l nn af xxdxf xxdx llll 111 000 2 2 2 cos4cossinxn xdxn xdxxdn x n 1 22 0 22 cos1 sin 1 2 3 n n xdxn nn 1 0 0 2 2 5ax dx 因为 2 f xx 在区间 11 x 上满足狄利克雷收敛定理的条件 所以 0 1 2 cossin 2 nn n ann f xxaxbx ll 22 1 52 cos1 cos 2 n n n x n 22 1 541 cos 21 11 2 21 n nxx n 令0 x 有 22 1 541 0 20cos0 2 21 n f n 所以 2 2 1 1 21 8 n n 又 22222 1111 111111 21 2 21 4 nnnn nnnnn 所以 2 2 1 31 48 n n 即 2 2 1 1 6 n n 六 六 本题满分本题满分 7 7 分分 解析 由定积分中值定理可知 对于 1 2 3 f x dx 在区间 2 1 3 上存在一点 使得 1 2 3 21 1 33 f x dxff 即 1 2 3 3 0 f x dxff 由罗尔定理可知 在区间 0 1 内存在一点 01 cc 使得 0fc 七 七 本题满分本题满分 8 8 分分 解析 设 11223344 xxxx 按分量写出 则有 1234 2334 1234 1234 1 21 23 2 43 35 8 5 xxxx xxx xxaxxb xxxax 对方程组的增广矩阵作初等行变换 第一行分别乘以有 2 3 加到第三行和第四行上 再第二行乘以 1 2 加到第三行和 第四行上 有 1111111111 0112101121 232430121 3518502252 A abab aa 11111 01121 0010 00010 ab a 所以 当1 0ab 时 1 r Ar A 方程组无解 即是不存在 1234 x x x x使得 11223344 xxxx 成立 不能表示成 1234 的线性组合 当1a 时 4 r Ar A 方程组有唯一解 21 0 111 T babb aaa 故 有唯一表达式 且 1234 21 0 111 babb aaa 相关知识点 非齐次线性方程组有解的判定定理 设A是m n 矩阵 线性方程组Axb 有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵 AA b 的秩 即是 r Ar A 或者说 b可由A的列向量 12 n 线表出 亦等同于 12 n 与 12 n b 是等价向量组 设A是m n 矩阵 线性方程组Axb 则 1 有唯一解 r Ar An 2 有无穷多解 r Ar An 3 无解 1 r Ar A b不能由A的列向量 12 n 线表出 八 八 本题满分本题满分 6 6 分分 解析 方法方法 1 1 因为A为n阶正定阵 故存在正交矩阵Q 使 1 21T N Q AQQ AQ 其中0 1 2 i in i 是A的特征值 因此 TTT QAE QQ AQQ QE 两端取行列式得 1 TT i AEQAE QQAE QE 从而 1AE 方法方法 2 2 设A的n个特征值是 12n 由于A为n阶正定阵 故特征值全大于 0 由 为A的特征值可知 存在非零向量 使A 两端同时加上 得 1AE 按特征值定义知1 是AE 的特征值 因为AE 的特征值是 12 111 n 它们全大于 1 根据 i A 知 1 1 i AE 相关知识点 阵特征值与特征向量的定义 设A是n阶矩阵 若存在数 及非零的n维列向量X 使得AXX 成立 则称 是矩阵A的特征值 称非零向量X是矩阵A的特征向量 九 九 本题满分本题满分 8 8 分分 解析 曲线 yy x 在点 P x y处的法线方程为 1 YyXx y 当0y 时 它与x轴的交点是 0 Q x yy 从而 1 222 2 1 PQyyyyy 当0y 时 有 0 Q xPQy 上式仍然成立 因此 根据题意得微分方程 31 22 22 1 1 1 y yyy 即 2 1yyy 这是可降阶的高阶微分方程 且当1x 时 1 0y y 令 yP y 则 dP yP dy 二阶方程降为一阶方程 2 1 dP yPP dy 即 2 1 PdPdy Py 即 2 1yCP C为常数 因为当1x 时 1 0yP y 所以1C 即 22 11yP y 所以 2 1yy 分离变量得 2 1 dy dx y 令secyt 并积分 则上式左端变为 2 sec tan ln sectan tan 1 dyttdt ttC t y 22 ln secsec1ln1ttCyyC 因曲线在上半平面 所以 2 10yy 即 2 ln1yyCx 故 2 1 x yyCe 当1x 时 1 y 当x前取 时 1 Ce 21 1 x yye 2 21