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抛物线的简单几何性质 刘婷 1 定义 在平面内 与一个定点F和一条定直线l l不经过点F 的距离相等的点的轨迹叫抛物线 抛物线的定义及标准方程 一 温故知新 2 由抛物线y2 2px p 0 所以抛物线的范围为 二 探索新知 研究抛物线y2 2px p 0 的哪些几何性质 抛物线在y轴的右侧 当x的值增大时 y 也增大 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 3 即点 x y 也在抛物线上 故抛物线y2 2px p 0 关于x轴对称 则 y 2 2px 若点 x y 在抛物线上 即满足y2 2px 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 4 定义 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点 y2 2px p 0 中 令y 0 则x 0 即 抛物线y2 2px p 0 的顶点 0 0 只有一个 5 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比 叫做抛物线的离心率 由定义知 抛物线y2 2px p 0 的离心率为e 1 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质 6 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0y R x 0y R y 0 x R y 0 x R 0 0 关于x轴对称 关于y轴对称 1 三 归纳提炼 7 思考 P越大 开口越开阔 8 因为抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过第四象限点M 解 所以设方程为 因此所求抛物线标准方程为 例 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点M 求它的标准方程 四 典例精析 坐标轴 9 例2 已知直线经过抛物线的焦点F 且与抛物线相交于A B两点 1 若直线的斜率为1 求线段AB的长 10 2 若 求线段AB的长 A 1 2 B 1 2 例2 已知直线经过抛物线的焦点F 且与抛物线相交于A B两点 11 3 若直线的倾斜角为 求线段AB的长 M G 例2 已知直线经过抛物线的焦点F 且与抛物线相交于A B两点 12 五 归纳总结 抛物线只位于半个坐标平面内 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 抛物线的离心率是确定的 等于 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 p越大 抛物线的开口越大 1 范围 2 对称性 3 顶点 4 离心率 5 开口大
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