§3.3 圆周角和圆心角的关系(第二课时).doc

3.3 圆周角和圆心角的关系（第二课时）学习目标:掌握圆周角定理几个推论的内容,会熟练运用推论解决问题.学习重点:圆周角定理几个推论的应用.学习难点:理解几个推论的”题设”和”结论”学习方法:指导探索法.学习过程:一、举例：【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？【例2】如图，已知O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，ACB的平分线交O于D，求BC、AD和BD的长【例3】如图所示，已知AB为O的直径，AC为弦，ODBC，交AC于D，BC=4cm（1）求证：ACOD；（2）求OD的长；（3）若2sinA1=0，求O的直径【例4】四边形ABCD中，ABDC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图3-3-15，求BD的长【例5】如图1，AB是半O的直径，过A、B两点作半O的弦，当两弦交点恰好落在半O上C点时，则有ACACBCBC=AB2（1）如图2，若两弦交于点P在半O内，则APACBPBD=AB2是否成立？请说明理由（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2=参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性二、练习：1在O中，同弦所对的圆周角（ ）A相等 B互补 C相等或互补 D都不对2如图，在O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（ ）A5对 B6对 C7对 D8对3下列说法正确的是（ ）A顶点在圆上的角是圆周角B两边都和圆相交的角是圆周角C圆心角是圆周角的2倍D圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4下列说法错误的是（ ）A等弧所对圆周角相等 B同弧所对圆周角相等C同圆中，相等的圆周角所对弧也相等 D同圆中，等弦所对的圆周角相等5如图4，AB是O的直径，AOD是圆心角，BCD是圆周角若BCD=25，则AOD=6如图5，O直径MNAB于P，BMN=30，则AON=7如图6，AB是O的直径，=，A=25，则BOD=8如图7，A、B、C是O上三点，BAC的平分线AM交BC于点D，交O于点M若BAC=60，ABC=50，则CBM=，AMB=9O中，若弦AB长2cm，弦心距为cm，则此弦所对的圆周角等于 10如图8，O中，两条弦ABBC，AB=6，BC=8，求O的半径11如图9，AB是O的直径，FB交O于点G，FDAB，垂足为D，FD交AG于E求证：EFDE=AEEG12如图，AB是半圆的直径，AC为弦，ODAB，交AC于点D，垂足为O，O的半径为4，OD=3，求CD的长13如图，O的弦ADBC，垂足为E，BAD=，CAD=，且sin=，cos=，AC=2，求（1）EC的长；（2）AD的长14如图，在圆内接ABC中，AB=AC，D是BC边上一点（1）求证：AB2=ADAE；（2）当D为BC延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由15如图，已知BC为半圆的直径，O为圆心，D是的中点，四边形ABCD对角线AC、BD交于点E（1）求证：ABEDBC；（2）已知BC=，CD=，求sinAEB的值；（3）在（2）的条件下，求弦AB的长16如图，以ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EFBC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长参考答案三、1图中1，2，3，4，5，6，7，8，12，34，56，78都是圆周角2解：A是圆周角，根据圆周角定理可得BOC=80，而BOC是等腰三角形，所以OBC=503解：由直径所对的圆周角是直角，所以在RtABC中，ABC=90A=50一、（一）1圆上；两边都和圆相交2（1）顶点在圆上；（2）两边都和圆相交（二）1一半（或） 2（2）直角；直径一、16；ACB、BCE、CED、BDE、ACE、CBD 点拨：根据圆周角定义判断230 点拨：ABO是等边三角形，根据圆周角定理得知所对的圆周角等于AOB的一半一、1C 点拨：同弧所对的圆周角相等，但是同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补因此同弦所对的圆周角相等或互补2D 解：先找同弧所对的圆周角：所对的1=3；所对的2=4；所对的5=6；所对的7=8找等弧所对的圆周角，因为=，所以1=4，1=2，4=3，2=3由上可知，相等的圆周角有8对点拨：在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角3D 点拨：本题考查圆周角的定义4D 点拨：等弦所对的圆周角相等或互补5130 解：BOD=2BCD=225=50，AOD=180BOD=18050=130660 解：ONAB，=M=30，的度数为60AON=60750 解：连COA=25，COB=2A=50=，BOD=COB=50点拨：本题考查等弧所对的圆心角相等及一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半830；70 点拨：利用ABC内角和定理求得C=70，最后根据同弧所对的圆周角相等得AMB=ACB=70，CBM=CAM=30945或135 点拨：一条弦所对的圆周角相等或互补（两个）10解：连接ACABBC，ABC=90AC为O直径在RtABC中，AB2BC2=AC2，AC=10，故O半径是5点拨：根据90的圆周角所对的弦是直径11证明：AB是直径，AGB=90AEDFEG，即EFDE=AEEG点拨：利用直径所对的圆周角是直角得到两三角形相似12解：CD=14 点拨：连接BC，证AODACB得CD=1413证明：连接ADAB=AC，ABC为等腰三角形又AB是O的直径，ADB=90AD是BAC的平分线BAD=CADBD=DE14点拨：通过证明BAEDBE可得1560或120 点拨：本题目没有给出图形，因此有两种情形：圆心O在三角形内或圆心O在三角形外，由两种不同情形可算出两种不同结果二、16解：P=30，OBA=P=30B点坐标为（0，2），OB=2在RtBOA中，AO=BO，tan30=，AB=，SABO=OAOB=2=，S圆=AB2=3=点拨：这是一道代数和几何的综合题，要注意BOA=90这一隐含条件17解：（1）在RtAEC中，cos=，AC=2，AE=ACcos=2=，EC=或EC=ACsin=（2）在RtABE中，AE=，sin=sin=，可设BE=3k，则AB=5k25k29k2=（）2k=（取正值）BE=3k=连接BD，则D=C，DBE=，BDEACEAEED=EBECED=ED=AD=AEED=18（1）证明：连接BEABDAEB=AB2=ADAE（2）解：结论成立如答图3-3-1，连接BEABEADB=AB2=ADAE三、19解：考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过M、N、B作圆，则A点在圆外，设MA交O于C，则MANMCN，而MCN=MBN，所以MANMBN，因此在B点射门为好点拨：在真正的足球比赛中情况比较复杂这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两点各自对球门MN的张角大小，当张角较小时，则容易被对方守门员拦截四、20解：船在航行过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于，即可安全绕过暗礁区（1）在外任取一点C，连接CA、CB，设CA交于F，连接FBAFB=，AFBC，C（2）在的弓形内任取一点D，连接AD并延长交于E，连接DB、EBE=，ABDE，ADB由（1）（2）知，在航标灯A、B所在直线北侧，在圆弧外任一点对A、B的视角都小于，在圆弧上任一点对A、B的视角都等于，在圆弧内上任一点对A、B的视角都大于，为此只有当对两灯塔的视角小于的点才是安全点五、21解：当BAP=CAQ时，ABC是等腰三角形证明：如答图3-3-2，作出ABC的外接圆，延长AP、AQ交该圆于D、E，连接DB、CE，由BAP=CAQ，得从而，所以BD=CE，CBD=BCE又BP=CQ，则BPDCQE，这时D=E，由此，故AB=AC即ABC是等腰三角形六、22解：（1），ABD=DBCBC为O的直径，BAC=BDC=90ABEDBC（2）ABEDBC，AEB=DCB在RtBDC中，BC=，CD=，BD=sinAEB=sinDCB=（3）ABD=DBC=CAD，ADE=BDA，AEDBADAD2=DEDBCD=AD=，CD2=DEDB=（BDBE）DB即（）2=（BE）解得BE=在RtABE中，AB=BEsinAEB=点拨：圆周角定理及其推论，垂径定理，勾股定理在本题中起重要作用23解：连接BE，则BEAC，BE2=AB2AE2=8222=60设FC=x，则BF=5x，BC=6xEFBC，EBF=CBE，BEFBCEBE2=BFBC即60=5x6xFC0，x=BC=6x=6EC2=BC2BE2=7260=12，EC=2点拨：作出直径上的圆周角是最常见的辅助线之一24BAC=15或75 点拨：如答图3-3-3和3-3-4，分两种情况，作直径AD，连接BD，易知BAD=30，CAO=45，BAC=15或75加试题：1证明：如答图3-3-5，延长BP到F，使PF=PC，连接PC、CF3=BAC=60，PCF为正三角形APCBFCPA=FB=BPPF=BPPC 在ABP和CDP中，PCD=PAB，DPC=BPA=60，CDPABP即PBPC=PAPD 由和两式可知，PB和PC是方程x2PAxPAPD=0的两根点拨：首先根据方程根的关系分析出所证明的间接结论：（1）PBPC=PA，（2）PBPC=PAPD，然后逐个证出，从而得到求证结论2解：如答图3-3-6，若连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则有SAOB= SBOC= SCOD， SDOE= SEOF= SFOA由于六边形ABCDEF的面积等于以上六个三角形面积之和，又因为有三个三角形面积相等的两组三角形，若把两组三角形重新组合，构成面积相等的六边形ABCDEF，其中O和O等圆如