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文档简介

初中数学竞赛辅导资料9条件等式的证明甲内容提要1. 恒等式:如果等式中所含的字母在允许值范围内,用任何实数值代替它,等式都能成立,那么这个等式叫做恒等式.例如: a+b=b+a, (a+b)2=a2+2ab+b2 , x=(x0), ()2=a (在实数范围内a0), =a(在实数范围内n为正奇数).都是恒等式.只含常数的等式是恒等式的特例.如:32=1,.2. 条件等式:满足一定条件下的等式,称为条件等式. 方程是条件等式,解方程就是求出能满足等式的条件(未知数的值).3.证明条件等式就是在题设的条件下,判断恒等式.4.证明条件等式的方法,除和证明恒等式的一般方法(见第20讲)以外,要特别注意如何把已知的条件用上.一般有以下几种: 用已知的条件直接代入(即等量代换). 变形后代入(包括把已知变形,或把结论变形). 引入参数后代入(包括换元).5. 分式,根式在恒等变形时,要注意字母保持允许值的范围不变.乙例题例1.已知:,且x+y+z0.求证:.分析:设法化为同分母,轮换式可先代入一式,其余的可用同型式 用已知直接代入.证明 :.根据 轮换式的性质,得 =. 例2. 已知:.求证:(n是整数).分析:先把已知变形,找出a,b,c之间的关系.证明:由已知,去分母,得 bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc.(a+b+c)(bc+ac)+ab(a+b)=0 . (a+b)(b+c)(c+a)=0.a=b, 或b=c, 或c=a. n 是整数, 2n+1是奇数. 当a=b时 ,左边= ; 右边=. 即a=b时,等式成立.同理可证:当b=c和c=a时,等式也成立 . (n为整数 ).例3.已知:ax3=by3=cz3, .求证:. 证明:设ax3=by3=cz3= k . ( 引入参数)那么ax2=, by2=, cz2=. 代入左边,得 : 左边=;而且 a=,b=,c=. 代入右边, 得:右边=()=.例4. 已知: abc 0,方程(acbc)x2+(bcab)x+(abac)=0有两个相等实根. 求证: 分析:要等式成立,必须且只须acbc=abac.证明:方程有两个相等的实数根, =0.即 (bcab)24(acbc) (abac)=0.(bcab+acac)2+4(bcac)(abac)=0, (添项acac)(bcac)(abac)2+4(bcac)(abac)=0.(bcac)+(abac)2=0 . bcac+abac =0. acbc=abac. abc0,两边都除以abc,得, .例5. 已知:a+, abc.求证:a2b2c2=1.证明:由已知ab=, a b,即ab0, bc=.根据轮换式性质,得同型式: ca=, ab=. abbcca= . a2b2c2=1.丙练习1. 已知: abc=1. 求证: 2. 已知: x=, y=, z=.求证: (1+x)(1+y)(1+z)=(1x)(1y)(1z).3. 已知:(aybx)2+(bzcy)2+(cxaz)2=0 . 求证: .4. 已知: . 求证: (a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c).5. 已知:. 求证:a+b+c=0 .6. 已知: , a+b+c 0.求证: .7. 已知: 1949x2=1988y2 且, x0, y0. 求证: .8. 已知:x=, 且a0, b0,0b1). 求证: .10. 求证:+=411. 已知:,. 求证: .12. 已知:a+b+c=0, a2+b2+c2=0, a3+b3+c3=0.求证:a4+b4+c4=0.参考答案1. 化为同分母ab+a+1,并设为k,则bc+b+1=,ca+c+1=ck.6. 由已

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