推理证明教学案.doc

2.2.1 综合法和分析法（一）教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若，且，则”，试请此结论推广猜想.2. 已知，求证：.先完成证明 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：（1）例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc. 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） 综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证.例2：在ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为ABC等边三角形. 分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？练习：（1）为锐角，且，求证：. （提示：算）（2）已知 求证：. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角，. 2. 的三个内角成等差数列，求证：.3. 函数f（x）在1，1上满足f（x）f（x）是减函数，、是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的是（）Af（sin）f（sin） B f（cos）f（sin）Cf（cos）f（cos） Df（sin）f（sin）4. 如果为各项都大于零的等差数列，公差，则（ ）A B C D5. 设，则（ ）A B C D2.2.1 综合法和分析法（二）教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？ 2. 讨论：如何证明基本不等式. （讨论 板演 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：例1：求证. 讨论：能用综合法证明吗？ 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ 板演证明过程 （注意格式） 再讨论：能用综合法证明吗？ 比较：两种证法分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示： 要点：逆推证法；执果索因.练习：设x 0，y 0，证明不等式：. 例2若a，b，c是不全相等的正数，求证：例3：见教材P88. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；分析综合法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1设a=lg2+lg5,b=ex(x0)，则a与b大小关系为 ()解析：alg2lg5lg101，而bexe01故ab.2.设a，bR，则“ab1”是“4ab1”的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若P，Q(a0)，则P、Q的大小关系是 ()A.PQ B.PQ C.PQ D.由a的取值确定4. 设a, b, c是的ABC三边，S是三角形的面积，求证：.5. 求证：当时，6. (10年全国）.已知函数.（）若，求的取值范围；（）证明： .2.2.2 反证法教学目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个O过A、B、C三点， 则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上， 即O是l与m的交点。 但 A、B、C共线，lm(矛盾) 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.二、讲授新课：1. 教学反证法概念及步骤： 练习：仿照以上方法，证明：如果ab0，那么 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 从假设出发，经推理论证得到矛盾 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 注：结合准备题分析以上知识.2. 教学例题：例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析：如何否定结论？ 如何从假设出发进行推理？ 得到怎样的矛盾？与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，P不是圆心，连结OP，则由垂径定理：OPAB，OPCD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），不被P平分.例2：已知求证：不能同时大于例3、已知a，b，c是互不相等的实数求证：由yax22bxc，ybx22cxa和ycx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）三、巩固练习： 1. 练习：用反证法证明： .已知成等差数列，且公差，求证：不可能成等差数列2.已知数列an的前n项的和Sn满足Sn2an3n (nN*)(1)求证an3为等比数列，并求an的通项公式；(2)数列an是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由2.1 直接证明和间接证明限时训练（一）一、选择题1.结论为： xnyn能被xy整除，令n1,2,3,4验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为()(A)nN* (B)nN*且n3(C)n为正奇数 (D)n为正偶数2. “所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理()(A)小前提错(B)结论错 (C)正确 (D)大前提错3.在ABC中，sinAsinCabbcca.证明过程如下：a、b、cR，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又a，b，c不全相等，以上三式至少有一个“”不成立，将以上三式相加得2(a2b2c2)2(abbcac)，a2b2c2abbcca.此证法是()(A)分析法(B)综合法 (C)分析法与综合法并用 (D)反证法5.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是()(A)假设三内角都不大于60度(B)假设三内角都大于60度(C)假设三内角至多有一个大于60度(D)假设三内角小于60度6.设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)1，f(2)，则a的取值范围是()(A)a (B)a或a1 (D)1a0，b0，c0，若abc1，则.8.用反证法证明命题“若a，bN，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为.9.设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若xz，且yz，则xy”为真命题的是x为直线，y，z为平面；x，y，z为平面；x，y为直线，z为平面；x，y为平面，z为直线；x，y，z为直线.三、解答题10.求证：若a0，则a2.11.【探究创新】凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对D内的任意x1，x2，xn都有f().已知函数f(x)sinx在(0，)上是凸函数，则(1)求ABC中，sinAsinBsinC的最大值.(2)判断f(x)2x在R上是否为凸函数.直接证明与间接证明限时训练（二）一、填空题1 用反证法证明“如果，则”假设的内容是_。2 已知是两个平面，直线不在平面内，也不在平面内，设；若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数为_。3当时，；以上4个不等式恒成立的是 （填序号）