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命题与证明复习 本章主要内容有 定义 命题 证明 反例和反证法 知识结构图 命题的结构 命题的真假 命题的表述 真假命题的判断 证明 固定格式 综合法 分析法 反例 反证法 真命题 假命题 题设 定义 公理 定理 1 能清楚地规定某一名称或术语的的句子叫做定义 知识回顾基本概念 2 对某一件事作出的句子叫做命题 叫做真命题 叫做假命题 4 要说明一个命题是假命题 常用的方法是举出一个 要说明一个命题是真命题 常用方法 5 要判定一个命题是真命题 往往需要从命题的条件出发 依据已知的定义 定理 公理 一步一步推得结论成立 这样的推理过程叫做证明 意义 正确或不正确判断 正确的命题 不正确的命题 反例 推理 3 命题可看作由 和 两部分组成 题设 或条件 结论 命题的反例是具备命题 但不具备命题 的实例 条件 结论 数学中通常挑选一部分人们经过长期实践后公认为正确的命题 作为判断其他命题的依据 这些公认为正确的命题叫做公理 用推理的方法判断为正确 并且可以作为判断其他命题真假依据的真命题叫做定理 例1下列语句中哪些是命题 1 每单位面积所受到的压力叫做压强 2 如果a是实数 那么a2 1 0 3 两个无理数的乘积一定是无理数 4 偶数一定是合数吗 5 连接AB 6 不相等的两个角不可能是对顶角 这些命题中哪些是真命题 哪些是假命题 并说明理由 对于命题 不相等的两个角不可能是对顶角 条件 结论 改写成 如果 那么 的形式 两个角不相等 这两个角不可能是对顶角 如果两个角不相等 那么这两个角不可能是对顶角 2 说明一个命题是真命题 就必须用推理的方法 而不能光凭一个例子 知识回顾基本方法 1 假命题的证明是利用反例来说明 反例必须是具备命题的条件 却不具备命题的结论 从而说明命题错误 3 证明一个真命题 可以用 等方法 综合法 分析法 反证法 在证明一个命题时 人们有时先假设命题不成立 从这样的假设出发 经过推理得出和已知条件矛盾 或者与定义 公理 定理等矛盾 从而得出假设命题不成立是错误的 即所求证的命题正确 这种证明方法叫做反证法 反证法证题的一般步骤 1 提出假设 2 推理论证 从假设出发利用已学知识进行推理 3 得出矛盾 得出与已知或定理 公理 定义等矛盾 4 写出结论 肯定原命题成立 知识回顾基本要求 证明命题的一般步骤 1 理解题意 分清命题的条件 已知 结论 求证 2 根据题意 画出图形 3 结合图形 用符号语言写出 已知 和 求证 4 分析题意 探索证明思路 5 依据思路 运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程 判断命题 两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 的真假 并给出证明 同步练习P483 实验班题库P5323P6122 例1求证 三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等 已知 如图 在 ABC中 AD是边BC上的高 CE AD于D BF AD交AD的延长线于F 求证 BF CE 例2已知 如图 已知AD是 ABD和 ACD的公共边求证 BDC BAC B C A B C D 例2如图 已知AD是 ABD和 ACD的公共边 求证 BDC BAC B C 证法一 在 ABD中 1 180 B 3 三角形内角和定理 在 ADC中 2 180 C 4 三角形内角和定理 又 BDC 360 1 2 周角定义 BDC 360 180 B 3 180 C 4 B C 3 4 又 BAC 3 4 BDC B C BAC 等量代换 例2如图 已知AD是 ABD和 ACD的公共边 求证 BDC BAC B C 证法二 A B C D 1 2 3 4 例2如图 已知AD是 ABD和 ACD的公共边 求证 BDC BAC B C 证法三 延长AD 1 3 B 2 4 C 1 2 3 B 4 C 即 BDC BAC B C 例3如图在 ABC中AB AC BAC 900 直角 EPF的顶点P是BC的中点 两边PE PF分别交AB AC于点E F 求证 AE CF 是否还有其它结论 实验班题库P6020 探索