间接证明反证法.ppt

2 2 2间接证明 反证法 直接证明 1 综合法 2 分析法 由因导果 执果索因 反证法 假设命题结论的反面成立 经过正确的推理 引出矛盾 因此说明假设错误 从而证明原命题成立 这样的的证明方法叫反证法 反证法的思维方法 正难则反 已知 A B C是 ABC的内角 求证 A B C中至少有一个不小于60 证明 假设的三个内角A B C都小于60 A B C 180 反思1 用反证法证题的一般步骤是什么 1 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 2 从这个假设出发 经过推理论证 得出矛盾 3 由矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 假设结论反面成立 正确推理导出矛盾 否定假设肯定结论 我思 故我在 1 用反正法证明时 导出矛盾有那几种可能 1 与原命题的条件矛盾 3 与定义 公理 定理 性质矛盾 2 与假设矛盾 1 难于直接使用已知条件导出结论的命题 2 唯一性命题 3 至多 或 至少 性命题 4 否定性或肯定性命题 2 你认为反证法的使用情形有那些 反思2 4 与客观事实矛盾 说明 常用的正面叙述词语及其否定 不等于 小于或等于 大于或等于 不是 不都是 至少有两个 一个也没有 某个 某些 至少有n 1个 某两个 例1用反证法证明 如果a b 0 那么 我试试 例2求证 是无理数 假设不成立 故是无理数 反馈练习 假设互补的两个角都大于90 假设 ABC中 至少有两个钝角 2 已知 ABC中 AB AC 求证 B180 这与三角形内角和定理相矛盾 2 所以 B 90 3 假设 B 90 4 那么 由AB AC 得 B C 90 即 B C 180 这四个步骤正确的顺序应是 A 1 2 3 4 B 3 4 2 1 C 3 4 1 2 D 4 3 2 1 反馈练习 C 用反证法证明 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分 已知 如图 在 O中 弦AB CD交于点P 且AB CD不是直径 求证 弦AB CD不被P平分 例 证明 假设弦AB CD被P平分 连结AD BD BC AC 因为弦AB CD被P点平分 所以四边形ADBC是平行四边形 所以 因为ABCD为圆内接四边形 所以 因此 所以 对角线AB CD均为直径 这与已知条件矛盾 即假设不成立 所以 弦AB CD不被P平分 用反证法证明 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分 已知 如图 在 O中 弦AB CD交于点P 且AB CD不是直径 求证 弦AB CD不被P平分 例1 由于P点一定不是圆心O 连结OP 根据垂径定理的推论 有 所以 弦AB CD不被P平分 证明 假设弦AB CD被P平分 即过点P有两条直线与OP都垂直 这与垂线性质矛盾 即假设不成立 证法二 OP AB OP CD 2 已知a 0 证明x的方程ax b有且只有一个根 演练反馈 方法总结 推出矛盾 可通过特殊值进行说明 例4 已知0 a 3 函数f x x3 ax在区间 1 上是增函数 设当x0 1 f x0 1时 f f x0 x0 求证 f x0 x0 分析 要求证明存在某个对象具有某种特殊性质 而我们又无法具体地指出这个对象来 如本例 此时应考虑用反证法来解决 证明 假设f x0 x0 则必有f x0 x0或f x0 x0 1 由f x 在 1 上为增函数 则f f x0 f x0 又f f x0 x0 x0 f x0 与假设矛盾 若x0 f x0 1 则f x0 f f x0 又f f x0 x0 f x0 x0也与假设矛盾 综上所述 当x0 1 f x0 1且f f x0 x0时有f x0 x0 已知p3 q3 2 求证 p q 2 证明 假设p q 2 那么p 2 q p3 2 q 3 8 12q 6q2 q3 将p3 q3 2代入得 6q2 12q 6 0 即6 q 1 2 0 由此得出矛盾 p q 2 1 如果一条直线经过平面内一点 又经过平面外一点 则此直线与平面相交 试一试 2 证明 3 已知方程2x 3 求证方程有且只有一根 作业 P54练习1 2A组3 演练反馈 1 写出下列命题 用反证法证明的第一步 1 已知a b 则a2 b2 2 三角形最小的角小于或等于600 3 两条直