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九年级数学 上 第五章反比例函数 课题学习猜想 证明与拓广 数学很神奇 世界三大几何难题 平面几何作图限制只能用直尺 圆规 而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺 用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形 但有些图形如正七边形 正九边形就做不出来 有些问题看起来好像很简单 但真正做出来却很困难 这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题 世界三大几何难题 化圆为方 求作一正方形使其面积等于一已知圆圆与正方形都是常见的几何图形 但如何作一个正方形和已知圆等面积呢 若已知圆的半径为1则其面积为 1 2 所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为 也就是用尺规做出长度为 1 2的线段 或者是 的线段 化圆为方 世界三大几何难题 对于某些角如900 1800三等分并不难 但是否所有角都可以三等分呢 例如600 若能三等分则可以做出200的角 那么正18边形及正九边形也都可以做出来了 注 圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为3600 18 200 其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的 三等分任意角 世界三大几何难题 倍立方 倍立方 求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍 世界三大几何难题 世界三大几何难题解答反馈 这些问题困扰数学家一千多年都不得其解 而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的 1637年笛卡儿创建解析几何以后 许多几何问题都可以转化为代数问题来研究 1837年旺策尔 Wantzel 给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明 1882年林得曼 Linderman 也证明了 的超越性 即 不为任何整数系数多次式的根 化圆为方的不可能性也得以确立 挑战 自我 猜想 证明与拓广 1 任意给定一个正方形 是否存在另一个正方形 它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍 2 你准备怎么去做 3 你是怎么做的 4 你有哪些解决方法 5 你提出新的问题吗 挑战 自我 解 设给定的正方形边长为a 则其面积是a2 若周长倍增 即边长变为2a 则面积应为4a2 若面积倍增 即面积变为2a2 则其边长应为a 无论从哪个角度考虑 都说明不存在这样的正方形 挑战 自我 任意给定一个矩形 是否存在另一个矩形 它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍 老师提示 矩形的形状太多了我们可以先研究一个具体的矩形 比如长和宽分别为2和1 怎么样 挑战 自我 由特殊到一般 解 如果矩形的长和宽分别为2和1 那么其周长和面积分别为6和2 所求矩形的周长和面积应分别为12和4 接下来该怎么做 你有何想法 挑战 自我 由特殊到一般 解 如果矩形的长和宽分别为2和1 那么其周长和面积分别为6和2 有两种思路可供选择 先从周长是12出发 看面积是否是4 或先从面积是4出发 看周长是否是12 挑战 自我 1 从周长是12出发 看面积是否是4 如果设所求矩形的长为x 那么它宽为6 x 其面积为x 6 x 根据题意 得x 6 x 4 即x2 6x 4 0 如果这个方程有解 则说明这样的矩形存在解这个方程得 挑战 自我 结论 如果矩形的长和宽分别为2和1 那么存在另一个矩形 它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍 挑战 自我 2 从面积是4出发 看周长是否是12 解 如果设所求矩形的长为x 那么宽为4 x 其周长为x 4 x 根据题意 得x 4 x 6 即x2 6x 4 0 显然这个方程有解 由此说明这样的矩形存在 解这个方程得 结论 如果矩形的长和宽分别为2和1 那么存在另一个矩形 它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍 挑战 自我 由特殊到一般 如果已知矩形的长和宽分别为3和1 是否还有相同的结论 如果已知矩形的长和宽分别为4和1 5和1 n和1呢 更一般地 当已知矩形的长和宽分别为m和n时 是否仍然有相同的结论 还等什么 用实际行动证明 第一个得到结论的是我 如果矩形的长和宽分别为m和n 那么其周长和面积分别为2 m n 和mn 所求矩形的周长和面积应分别为4 m n 和2mn 从周长是4 m n 出发 看面积是否是2mn 解 如果设所求矩形的长为x 那么它宽为2 m n x 其面积为x 2 m n x 根据题意 得x 2 m n x 2mn 即x2 2 m n x 2mn 0 解这个方程得 若从面积是2mn出发 可得同样的结论 挑战 自我 结论 任意给定一个矩形 必然存在另一个矩形 它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍 猜想 证明与拓广 老师期望 同学们 把自己对上述探究过程中的方法和感受与同伴进行交流 这样会使受益匪浅 挑战 自我 猜想 证明与拓广 老师提示 在探索结论 任意给定一个矩形 必然存在另一个矩形 它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍 的过程中 我们经历了猜想 由特殊到一般的尝试 证明 拓广的全过程 从而得到了一般性的结论 任意给定一个矩形 是否一定存在另一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 你准备怎么去做 猜想 证明与拓广 挑战 自我 小明认为 这个结论是正确的 理由是 既然任意给定一个矩形 必然存在另一个矩形 它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍 也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时 加倍 那么 原矩形自然满足新矩形的 减半 要求 即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半 猜想 证明与拓广 挑战 自我 如果矩形的长和宽分别仍为2和1 那么是否存在一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半 如果已知矩形的长和宽分别为3和1 是否还有相同的结论 如果已知矩形的长和宽分别为4和1 5和1 n和1呢 挑战 自我 由特殊到一般 解 如果矩形的长和宽分别为2和1 那么其周长和面积分别为6和2 所求矩形的周长和面积应分别为3和1 设所求矩形的长为x 那么它宽为1 5 x 其面积为x 1 5 x 根据题意 得x 1 5 x 1 即2x2 3x 2 0 如果这个方程有解 则说明这样的矩形存在 由b2 4ac 32 4 2 2 7 0 知道这个方程没有实数根 挑战 自我 结论 如果矩形的长和宽分别为2和1 那么不存在另一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 解 当如果矩形的长和宽分别为3和1 4和1 5和1时 设所求矩形的长为x 根据题意所得的方程均有没有实数根解 则说明这样的矩形不存在 挑战 自我 结论 如果矩形的长和宽分别为2和1 3和1 4和1 5和1时 都不存在另一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 由特殊到一般 挑战 自我 我们已经知道 如果矩形的长和宽分别为2和1 3和1 4和1 5和1时 都不存在另一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 这个结论是否具有一般性 如果这个结论不具有一般性 那么当矩形的长和宽满足什么条件时 才存在一个新的矩形 它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半 你能再找出这样的一个例子吗 挑战 自我 解 如果矩形的长和宽分别为6和1 那么其周长和面积分别为14和6 所求矩形的周长和面积应分别为7和3 设所求矩形的长为x 那么它宽为3 5 x 其面积为x 3 5 x 根据题意 得x 3 5 x 3 即2x2 7x 6 0 由b2 4ac 72 4 2 6 1 0 知道这个方程有实数根 结论 如果矩形的长和宽分别为6和1时 存在另一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 挑战 自我 解 如果矩形的长和宽分别为m和n 那么其周长和面积分别为2 m n 和mn 所求矩形的周长和面积应分别为m n和mn 2 设所求矩形的长为x 那么它宽为 m n 2 x 其面积为x m n 2 x 根据题意 得x m n 2 x mn 2 即2x2 m n x mn 0 由 m n 2 4 2 mn m2 n2 6mn 知道只有当m2 n2 6mn时 这个方程才有实数根 结论 如果矩形的长和宽满足m2 n2 6mn时 才存在另一个矩形 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半 挑战 自我 神奇的反比例函数 同学们 我们已经知道用反比例函数可以解答世界数学难题 化