高中数学课件 第六章 第六节 《直接证明与间接证明》.ppt

1 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和综合法的思考过程 特点 2 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法的思考过程 特点 1 直接证明 1 综合法 定义 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的 最后推导出所要证明的结论 这种证明方法叫做综合法 框图表示 其中P表示条件 Q表示要证结论 推理论证 成立 2 分析法 定义 从出发 逐步寻求使它成立的直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明方法叫做分析法 框图表示 结论 充分条件 2 间接证明反证法 假设原命题 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 不成立 矛盾 提示 分析法是执果索因 一步步寻求上一步成立的充分条件 仅是充分条件 而不需要充要条件 综合法是由因导果 因此分析法的证明过程 恰好是综合法的分析 思考的逆过程 思考探究 综合法和分析法有什么区别和联系 1 设a lg2 lg5 b ex xbB a bC a bD a b 解析 a lg2 lg5 1 xb 答案 A 2 用反证法证明命题 a b N ab可被5整除 那么a b中至少有一个能被5整除 时 假设的内容应为 A a b都能被5整除B a b都不能被5整除C a b不都能被5整除D a不能被5整除 解析 用反证法证明命题应先否定结论 答案 B 3 设a b R 已知p a b q 2 则p是q成立的 A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 解析 p a b是q 2 等号成立的充分条件 答案 B 4 已知a b是不相等的正数 x y 则x y的大小关系是 解析 y2 2 a b x2 x y 答案 x y 5 若a b c 则的最小值是 解析 由a b c 知a b 0 b c 0 a c 0 则 2 2 2 4 当且仅当b c a b 即a c 2b时 等号成立 答案 4 综合法是 由因导果 它是从已知条件出发 顺着推证 经过一系列的中间推理 最后导出所证结论的真实性 用综合法证明题的逻辑关系是 A B1 B2 Bn B A为已知条件或数学定义 定理 公理 B为要证结论 它的常见书面表达是 或 已知x y z 1 求证 x2 y2 z2 思路点拨 课堂笔记 x2 y2 2xy y2 z2 2yz z2 x2 2zx x2 y2 y2 z2 z2 x2 2xy 2yz 2zx 3 x2 y2 z2 x2 y2 z2 2xy 2yz 2zx 即3 x2 y2 z2 x y z 2 1 x2 y2 z2 成立 1 分析法是 执果索因 它是从要证的结论出发 倒着分析 逐渐地靠近已知 2 用分析法证 若P则Q 这个命题的模式是 为了证明命题Q为真 这只需证明命题P1为真 从而有 这只需证明命题P2为真 从而有 这只需证明命题P为真 而已知P为真 故Q必为真 特别警示 用分析法证题时 一定要严格按格式书写 否则极易出错 已知a 0 求证 a 2 思路点拨 课堂笔记 要证 a 2 只要证 2 a a 0 故只要证 即a2 4 4 a2 2 2 a 2 从而只要证2 a 只要证4 a2 2 a2 2 即a2 2 而上述不等式显然成立 故原不等式成立 1 适宜用反证法证明的数学命题有 1 结论本身以否定形式出现的一类命题 2 关于唯一性 存在性的命题 3 结论以 至多 至少 等形式出现的命题 4 结论的反面比原始结论更具体 更容易研究的命题 5 要证的结论与条件之间的联系不明显 直接由条件推出结论的线索不够清晰 2 用反证法证明问题的一般步骤为 1 反设 假定所要证的结论不成立 而设结论的反面 否定命题 成立 否定结论 2 归谬 将 反设 作为条件 由此出发经过正确的推理 导出矛盾 与已知条件 已知的公理 定义 定理及明显的事实矛盾或自相矛盾 推导矛盾 3 结论 因为推理正确 所以产生矛盾的原因在于 反设 的谬误 既然结论的反面不成立 从而肯定了结论成立 结论成立 特别警示 用反证法证明问题时要注意以下二点 1 必须先否定结论 即肯定结论的反面 当结论的反面呈现多样性时 必须罗列出各种可能结论 缺少任何一种可能 反证都是不完全的 2 反证法必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须根据这一条件进行推证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行推理 就不是反证法 已知a 0 b 0 且a b 2 求证 中至少有一个小于2 思路点拨 课堂笔记 假设都不小于2 则 2 2 a 0 b 0 1 b 2a 1 a 2b 1 1 a b 2 a b 即2 a b 这与已知a b 2矛盾 故假设不成立 即中至少有一个小于2 以不等式 立体几何 解析几何 函数与方程等为载体 考查综合法 分析法 反证法的应用是高考对本节内容的常规考法 09年辽宁高考以立体几何为载体 以解答题的形式考查了反证法的应用 是一个新的考查方向 考题印证 2009 辽宁高考 12分 如图 已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内 M N分别为AB DF的中点 1 若CD 2 平面ABCD 平面DCEF 求MN的长 2 用反证法证明 直线ME与BN是两条异面直线 解 1 取CD的中点G 连结MG NG 因为ABCD DCEF为正方形 且边长为2 所以MG CD MG 2 NG 4分 因为平面ABCD 平面DCEF 所以MG 平面DCEF 可得MG NG 所以MN 6分 2 证明 假设直线ME与BN共面 则AB 平面MBEN 且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知 两正方形不共面 故AB 平面DCEF 8分 又AB CD 所以AB 平面DCEF 而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线 所以AB EN 10分 又AB CD EF 所以EN EF 这与EN EF E矛盾 故假设不成立 所以ME与BN不共面 它们是异面直线 12分 自主体验 已知数列 an 和 bn 满足 a1 an 1 an n 4 bn 1 n an 3n 21 其中 为实数 n为正整数 1 证明 对任意实数 数列 an 不是等比数列 2 证明 当 18时 数列 bn 是等比数列 3 设Sn为数列 bn 的前n项和 是否存在实数 使得对任意正整数n 都是Sn 12 若存在 求 的取值范围 若不存在 说明理由 解 1 证明 假设存在一个实数 使 an 是等比数列 则有 a1a3 即 3 2 4 2 4 9 2 4 9 0 矛盾 an 不是等比数列 2 证明 bn 1 1 n 1 an 1 3 n 1 21 1 n 1 an 2n 14 1 n an 3n 21 bn 又 18 b1 18 0 由上式知bn 0 n N 故当 18时 数列 bn 是以 18 为首项 为公比的等比数列 3 当 18时 由 2 得bn 18 n 1 于是Sn 18 1 n 当 18时 bn 0 从而Sn 0 Sn 12恒成立 当 18时 要使对任意正整数n 都有Sn 12 即 18 1 n 12 12 的取值范围为 6 1 a b c为互不相等的正数 且a2 c2 2bc 则下列关系中可能成立的是 A a b cB b c aC b a cD a c b 解析 由a2 c2 2ac 2bc 2ac b a 可排除A D 令a 2 c 1 可得b 可知C可能成立 答案 C 2 用反证法证明 如果a b 那么 假设内容应是 A B C 且D 或 解析 的否定形式为 答案 D 3 要使成立 则a b应满足 A ab 0且a bB ab 0且a bC ab 0且a bD ab 0且a b或ab 0且a b 解析 要使成立 只要成立 即a b 3 3 a b成立 只要成立 只要ab2 a2b成立 即要ab b a 0成立 只要ab 0且a b或ab 0且a b成立 答案 D 4 设x y z是空间的不同直线或不同平面 且直线不在平面内 下列条件中能保证 若x z 且y z 则x y 为真命题的是 填所有正确条件的代号 x为直线 y z为平面 x y z为平面 x y为直线 z为平面 x y为平面 z为直线 x y z为直线 解析 由空间位置关系的判定及性质可知 正确 答案 5 方程f x x的根称为f x 的不动点 若函数f x 有唯一不动点 且x1 1000 xn 1 n N 则x2010 解析 由 x得ax2 2a 1 x 0 因为f x 有唯一不动