关于柯西_施瓦茨不等式证明.pdf

西南科技大学 5 高教研究 62009年第 4期 总第 93期 关于柯西 施瓦茨不等式证明 付英贵 西南科技大学理学院 四川绵阳 621010 摘 要 柯西 施瓦茨不等式是高等数学中一个难点问题 本文将用三种不同证明方法 注明 三种不同方法在处理中的难点和重点 同时讨论柯西 施瓦茨不等式的应用 关键词 定积分 二重积分 柯西 施瓦茨不等式 一 柯西 施瓦茨不等式 设 f x g x 在区间 a b 上均匀连续 证明 Q b a f x g x dx 2 Q b a f 2 x dx Q b a g 2 x dx 证法一 作函数 F x Q x a t g t dt 2 Q x a f 2 x dt Q x a g 2 t dt 因 Fc x 2Q x a f t g t dt f x g x f 2 x Q x a g 2 t dt g 2 x Q x a f 2 t dt Q x a 2f x g x f t g t dt Q x a f 2 x g 2 t dt Q x a f 2 t g 2 x dx Q x a f x g t f t g x 2dt 0 故 F x 在 a b 上单调下降 即 F b F a a a e证明 a b b a 分析 a b b a Z b lna a lnbZ b lna a lnb 0 作 f x x lna alnx x a 证法二 对任意实数 K有 K f x g x 2 0两边积分 Q b a K f x g x 2dx K2 Q b a f 2 x dx 2KQ b a f x g x dx Q b a g 2 x dx 0 故 K的二次三项式的判别法 v b 2 4ac 4 Q b a f x g x dx 2 4Q b a f 2 x dx Q b a g 2 x dx 0 即 Q b a f x g x dx 2 Q b a f 2 x dx Q b a g 2 x dx 注 本证明方法关键是将问题转化成二次三项式有无根的问题 同时利用定积分性质来证明 本方法中 建立二次三项式方法值得关注 60 证法三 Q b a dx Q b a f x g y f y g x 2dy Q b a dx Q b a f 2 x g 2 y 2f x g x f y g y f 2 y g 2 x dy Q b a Q b a f 2 x g 2 y dy dx 2Q b a f x g x dx Q b a f y g y dy Q b a Q b a f 2 y g 2 x dy dx Q b a f 2 x dx Q b a g 2 y dy 2 Q b a f x g x dx 2 Q b a f 2 y dy Q b a g 2 x dx 2 Q b a f 2 x dx Q b a g 2 x dx Q b a f x g x dx 2 并且仅当 x y时 Q b a dx Q b a f x g y f y g x 2dy 0 故 Q b a f 2 x dx Q b a g 2g2 x dx Q b a f x g x dx 2 若 xX y时 Q b a dx Q b a f x g y f y g x 2dy 0 故 Q b a f 2 x dx Q b a g 2 x dx Q b a f x g x dx 2 综上所述 则有 Q b a f x g x dx 2 Q b a f 2 x dx Q b a g 2 x dx 注 本证明方法将本问题转化成二重积分问题 同时注意和轮换对称性和讨论 本方法中重积分轮换对 称性 对称性在积分中应用是高等数学学习中一个重点 难点 在教学中请学生注意 分析 Q Q D f x y dxdy Q Q D f y x dxdy D 关于 y x对称 例 Q Q x2 y2 1 3x 2 y 2 x 2 y 2dxdy Q Q x2 y2 1 x 2 y 2 x 2 y 2dxdy 2P 二 例 设 f x 在区间 a b 上连续 且 f x 0 证明 Q b a f x dx Q b a 1 f x dx b a 2 证 Q b a f x dx Q b a 1 f x dx Q b a f x 2dx Q