以海涅定理为例谈数学分析中的直觉_证明与感悟.pdf

2010年第 07期吉林省教育学院学报No 07 2010 第 26卷JOURNAL OF EDUCATI ONAL INSTITUTE OF JILIN PROVINCE Vol 26 总 235期 TotalNo 235 收稿日期 2010 03 26 作者简介 朱国卫 1976 男 云南凤庆人 临沧师范高等专科学校数理系 讲师 主要从事数学分析教学和数学教育研究 以海涅定理为例谈数学分析中的直觉 证明与感悟 朱国卫 临沧师范高等专科学校 数理系 云南 临沧 677000 摘要 数学分析中有较多的定理 在教学中学生对这些定理产生的背景未能引起足够的重视 而对定理的 证明 又往往 有被迫接受的感觉 如何把这种感觉转变为由衷的承认呢 笔者以为应重视直觉 证明与感悟 才能解决上述问题 关键词 直觉 证明 感悟 海涅定理 中图分类号 O17 文献标识码 A 文章编号 1671 1580 2010 07 0152 03 数学分析中有较多的定理 这些在教材中出现 的定理 首要原因是为了构建本课程的知识体系 那么 这些定理是如何产生的呢 这是数学分析教 学中应注重的一个问题 另外 在教学中 学生对定 理的证明往往有一种感觉 是为了被迫承认定理 也 就是说 学生对定理的承认并没有从思想上彻底地 信服 从而对定理所表述的内容理解不够深刻 进一 步导致对定理的使用存在着错误 要解决上述的问 题 笔者以为在定理的教学中应重视直觉 证明和感 悟三者之间的关系 下面以海涅定理的教学为例加 以说明 海涅定理 li m x af x b 对任意数列 an an要 属于函数 f x 的定义域 an a 且 li m n an a 有 li m n f an b 一 产生背景探析 数学分析研究的对象是函数 研究工具 方法是 极限 而却先介绍数列极限 一个原因是数列极限要 比函数极限容易理解 而且收敛数列的许多性质可 以平移至函数 另一个原因是数列其实也是函数 只 是二者在自变量的变化方面存在着以离散形式变化 和以连续形式变化这样一个重要区别 那么 数列极 限与函数极限之间是否存在着更为深刻 更为本质 的联系呢 二者之间能否进行转换 二 猜测 直觉 由于 li m x af x b的充分必要条件是 0 0 X 0 x a 有 f x b 所以 只要 x落在 a a 内 就 有 f x b 那么 对于任意数列 an 若对 任意 an都落在 a a 内 也就应有 f an b 这也就表明数列 f an 以 b 为极限 即 li m x af an b进一步可表示为 li mn f an b 另一方面 若存在一个数列 an 若其任意 an 都落在 a a 内时 有 f an b 0 则 li m n ntan 1 n n2 li m x 0 tanx x 1 x2 e 1 3 感悟三 若 能找 到 两 个满 足 条件 的 数 列 f an 和 f bn 且 li m n f an c lim n f bn d 而 c d 则可以判定 li m x a f x 不存在 感悟四 能否通过数列 f an 来求函数极限 由定理看 若事先知道 lim x af x 存在 则可以找 一特殊的满足条件的数列 an 通过求解 lim n f an 则就有 li m x af x li mn f an 但是 若不知道 li m x af x 是否存在 则无法由 li m n f an 来求解 li m x af x 这是 因为必须要考察任意符合条件的数列 an 这无法 办到 如果函数 f x 满足某些条件 那么 lim x af x 是 否等于某一个满足条件的特殊的数列 an 所对应 着的极限 li m n f an 若时间允许 可以引导学生去发 现有相应的定理 否则可以给学生简单介绍以下几 个定理 使学生感受到海涅定理 或其加强形式 所 带来的方便 定理 1设函数 f x 在区间 a a 单调 则 li m x a f x b 存在数列 an a an a 且 li m n an a 有 li m n f an b 定理 2设函数 f x 在区间 a a 单调 则 li m x a f x b 存在数列 an a an a 且 li m n an a 有 li m n f an b 综合定理 1和定理 2 我们可以得到下面的 定理 定理 3设函数 f x 在点 a的左 右两侧附近分 别单调 则 li m x af x b 存在数列 an a an a 和 bn a bn 0 则有 li m n an li m n 1 n 0 从而 li m x 0 x x li m n 1 n 1 n li m n 1 n n 1 注 lim n 1 n n 1是已知结论 数列极限与函数极限虽然是分别独立定义的 但是通过海涅定理却把两者联系起来 海涅定理深 刻地揭示了变量变化的整体与部分 连续与离散之 间的关系 因此 从极限的意义来说 数列极限与函 数极限其变量不管是离散的变化还是连续的变化 只要它们的变化趋势相同 效果都是一样的 海涅定理在数学分析中的作用在于在数列极限 和函数极限之间架起了一座桥梁 也正因为有了这 座桥梁 在处理数列极限和函数极限相关问题时 可 以适时地在二者间进行转换 而要实现转换的自如 应重视直觉对定理产生背景探析的作用 再通过严 格的证明对直觉的准确性予以判断 最后通过感悟 实现对定理全面 深刻的理解 参考文献 1 华东师范大学数学系 数学分析 第二版 M 北京 高等 教育出版社 2001 2 刘玉琏 傅沛仁等 数学分析讲义 第四版 M 北京 高等 教育出版社 2008 3 吴少祥 余庆红 海涅定理及其应用 J 高等数学研究 2007 9 4 李小新 归结原则的各种形式及其应用 J 池州师专学报 2004 6 5 谭伟明 单调函数单侧极限存在的判别法 J 重庆教育学 院学报 2003 11 Intuition Certification and Perception in M athematic Analysisw ith Heine BorelTheorem as the Exa mple ZHU Guo wei D epartment ofM ath L incang Teachers College Lincang 677000 China Abstract M athematical analysis havemore theorem in teaching students the background of these theore ms has failed to arouse e nough attention While the theore m prove they are often forced to accept the feeling ho w to bring this feeling into a heartfelt recog nition of it