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巧思妙解 巧 思 妙 解 与 数 学 证 明 罗 增 儒 陕西师范大学数学系 710062 61中 等 数 学 712005年第3期 2 数学证明 2 1 数学证明的作用 数学证明是数学的特征 是数学的力量 不会证明就谈不上掌握数学 由上面的解题 案例分析可以看到 数学证明至少有3个作 用 1 核实 就是说 数学证明有助于核实 真理 上述例1中 也许用量角器也能猜出 A EB 45 但未证明之前只能作为解题的 方向 另外 有些直观不明显的问题 一旦得 到证明 我们会对它确信无疑 这就是数学证 明的征服性力量 例3 一个圆的大小如同地球的赤道 另一个圆的大小如同5分钱的硬币 若将其 周长都增加1米 得到两个圆环 问哪个圆环 的间隙大 直观感觉应是5分钱硬币产生的间隙 大 但数学演算显示 r1 r0 s 1 2 s 2 1 2 即一样大 这时 我们就会抛弃直观而接受真 理 2 理解 数学证明有助于增进理解 我 们只有真正弄懂了一个命题的证明 才能真 正理解该命题的内容 例1解法1 解法2的完成 使我们理解 了 A EB 45 并揭示了其在正方形CDEF 中的结构 但这只是浅层次的 因为其证明依 赖于 A 30 而解法3 解法4则触及深层 结构 A 30 成了多余条件 正 方 形 CDEF中的对称变换看得更清楚了 A EB 1 2 DEF 更多的认识立即成为可能 3 发现 数学证明有助于获得新的体 验 发现新的结论 例1显示 随着证明对深 层结构的逐步揭示 知识网络越来越流畅 例 2的诸多想法也越来越自然 2 2 巧思妙解的认识 由以上的分析可以看到 1 巧思妙解的追求体现了数学崇尚简 捷的理念 这是一个高素质的数学学习者的 天然取向和动力资源 2 巧思妙解的追求体现了对数学证明 的较全面认识 如果拘泥于 核实 得到一个 证明就够了 哪怕是比较麻烦的解法 而继 续探求巧思妙解则有利于增进理解 这不仅 有助于知识的记忆与知识的迁移 而且还提 供了发现的机会 这正是素质教育所倡导的 3 巧思妙解的重点应在于揭示问题的 深层结构 从而达到认识的深化 而不仅仅是 技术层面的减少一点操作 可以说 巧思妙解 为探究性学习和解题理论的经验积累都提供 了空间 参考文献 1 李文汉 趣味题与简捷解 M 郑州 河南科学技术出 版社 1997 1 2 李耀文 2003年山东省 KLT快灵通杯 初中数学竞 赛 J 中等数学 2004 4 3 段养民 一道竞赛题的解法分析及引申 J 中学数学 教学参考 2004 11 4 罗增儒 数学证明的作用 J 中学数学数学参考 2001 5 致 读 者 1 中等数学 2004年合订本现正发售 每本27元 含邮挂费 2 由 中等数学 编辑部编辑出版的 2002 2003国内外数学竞赛套题及精解 余量 有限 每本18元 邮购另加4元邮挂费 3 我编辑部目前尚有部分 中等数学 过刊 2002 5 6 2003
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