专题23 几何证明选讲 试题类编·最新3年高考数学理.pdf

借马分马 一 有一位阿拉伯商人 一生勤俭 善于经营 积蓄了不少的金银财宝和牲畜 商人临终前将他的三个儿子叫到身边 对他们说 我不久就要离开你们了 我死后财产将全部分配给你们兄弟三人 我已将分配方法写入遗嘱 遗嘱就锁在床头的保险柜内 我死后 你们有困 难可以去找我的朋友数学家锡克 老人说完最后一句话 就安详地离开了人世 三兄弟十分悲痛 处理完老人的后事 接下来 分家产之事就 提上了日程 三兄弟小心翼翼地打开保险柜 只见保险柜内还有一个小保险箱 上面附着一张公文纸 只见纸上写着 将马厩中的 匹良马 分给三个儿子 老大得总数的 老二得总数的 小儿子得总数的 但分时不许把马杀掉 第二十三章 几何证明选讲 北京 理 如图 A C B C D A B于点D 以B D为直径的圆与B C交于点E 则 第 题 A C E C B AD D B B C E C B AD A B C AD A B C D D C E E B C D 安 徽 理 设 曲 线C的 参 数 方 程 为 x c o s y s i n 为参数 直线l的方程为x y 则曲线 C上到直线l的距离为 的点的个数为 A B C D 湖北 理 如图 点D在 O的弦A B上移动 A B 连接O D 过点D作O D的垂线交 O于点C 则C D的 最大值为 第 题 第 题 陕西 理 如图 在圆O中 直径A B与弦C D垂 直 垂足为E E F D B 垂足为F 若A B A E 则D F D B 湖南 理 如图 过点P的直线与 O相交于A B两点 若P A A B P O 则 O的半径等于 第 题 第 题 广东 理 如图所示 过圆O外一点P分别作圆 第二十三章 几何证明选讲 借马分马 二 读完遗嘱 三人来到马厩前 望着 匹膘肥体壮的良马 准备按遗嘱的规定分马 看似简单的问题 实际上分起来不那么容 易 三兄弟分来分去总不能找到一种合理的方法 因为他们无论如何也分不出整数马匹来 不由地埋怨起老父亲来 老二说 这是一份根本无 法执行的遗嘱 谁说遗嘱无法执行啊 随着说话声 锡克先生牵着一匹枣红马走进院子里来 三兄弟见到锡克先生就像见到救兵一样 老大 说 您是数学家 按照遗嘱分马只能拜托您了 锡克先生将马缰绳交给老大说 这样吧 我把我的马借给你们按照遗嘱分马 分完后再还给 我就是了 的切线和割线交圆于点A B 且P B C是圆上一点使得B C B A C A P B 则A B 天津 理 如图 已知圆中两条弦A B与C D相 交于点F E是A B延长线上一点 且D F C F A F F B B E 若C E与圆相切 则线段C E的长为 第 题 第 题 陕西 理 如图 B D A E B C A C D 且A B A C AD 则B E 湖南 理 如图 A E是半圆周上的两个三等分 点 直径B C AD B C 垂足为D B E与AD相交于点F 则 A F的长为 第 题 第 题 北京 理 如图 O的弦E D C B的延长线交 于点A 若B D A E A B B C AD 则D E C E 湖南 理 如图所示 过 O外一点P作一条 直线与 O交于A B两点 已知P A 点P到 O的切线长 P T 则弦A B的长为 第 题 第 题 陕西 理 如图 已知R t A B C的两条直角边 A C B C的长分别为 c m c m 以A C为直径的圆与A B交于点 D 则B D DA 广东 理 如图 A B C D是半径为a的圆O的 两条弦 它们相交于A B的中点P PD a O A P 则C P 第 题 第 题 天津 理 如图 四边形A B C D是圆O的内接 四边形 延长A B和D C相交于点P 若P B P A P C PD 则 B C AD的值为 全国新课标 理 如图 D E分别为 A B C边 A B A C的中点 直线D E交 A B C的外接圆于F G两点 若 C F A B 证明 C D B C B C D G B D 第 题 江苏 理 如图 A B是圆O的直径 D E为圆 O上位于A B异侧的两点 连接B D并延长至点C 使B D D C 连接A C A E D E 求证 E C 第 题 辽宁 理 如图 O和 O 相交于A B两点 过点A作两圆的切线分别交两圆于C D两点 连接D B并延长 交 O于点E 证明 A C B D AD A B A C A E 第 题 江苏 理 如图 圆O 与圆O 内切于点A 其 半径分别为r 与r r r 圆O 的弦A B交圆O 于点C O 不在A B上 求证 A B A C为定值 第 题 全国新课标 理 如图 D E分别为 A B C的 边A B A C上的点 且不与 A B C的顶点重合 已知A E的长为 最新 年高考试题分类解析 数学 借马分马 三 三兄弟十分纳闷 但苦于无法 只得按锡克先生的办法试一试 大儿子得 匹马的 是 匹马 二儿子得 匹马的 是 匹马 小儿子得 匹马的 是 匹马 令兄弟三人惊奇的是 正好分完自己家的 匹马 剩下的自然是锡克先生的那匹马了 原来锡克先生仔细研究了商人遗嘱的秘密 实际上商人是要求三个儿子按 这个比例去分 按这个比例分马的结果可化成整数 就是 且 即为马匹数 n AD A B的长是关于x的方程x x m n 的两个根 证明 C B D E四点共圆 若 A 且m n 求C B D E四点所在圆的 半径 第 题 江苏 理 如图 A B是 O的直径 D为 O上 一点 过点D作 O的切线交A B延长线于点C 若D A D C 求 证 A B B C 第 题 A 精析 由题意 得C E C B C D AD D B 故选 A B 精析 曲线C为圆 x y 圆心C 到直线x y 的距离d 由圆的半径 为 知圆C上有且仅有两点到l的距离为 故选B 精析 观察图形 当D为A B的中点时 C D最大 最 大值为 故填 精析 依题意 得D E C E A E E B 又 D E C E 于是有D E 在R t D E B中 有D E D F D B 即D F D B 精析 设直线P O交圆于点C D 则由割线定理 得 P A P B P C P D 即 R R 解得R 故填 精析 因为P A为切线 A B为弦 所以 P A B B C A 又 B A C A P B 所以 A P B C A B 所以P B A B A B B C 所以A B P B B C 即A B 故填 精析 由A F F B B E 可设A F x F B x B E x 则由相交弦定理 A F B F D F F C 得 x 所以x 由切割线定理 得C E E B B A x 所以C E 故填 精析 由于 B D A E B A C D 所 以 A B E AD C 所以A B AD A E A C 所以A E A B A C AD 所以 B E 故填 精析 如图 连接A B A C C E 由于A E是半圆 上的三等分点 所以 F B D A B D A C B 从 而可得A B AD B D 所以D F A F 故填 第 题 精析 由 A B D A E C 得AD A E A B A C 所以 D E 解得D E 又因为B D A E 所以 B D 由A B A E B D C E 得C E 故填 精析 由切割线定理 得P T P A P B 所以 P B P B A B P B P A 故填 精析 由勾股定理 得 A B 由切割 线定理 得B D B A B C 即B D D A B A B D 所以B D D A 故 填 a 精析 因为P 是A B的中点 由垂径定理知 O P A B 在R t O P A中 B P A P ac o s a 由相交线定理 知 B P A P C P D P 即 a a C P a 所以C P a 故填 a 精析 由题意 可设P B a P C b 则P A a P D b 由割线定理 得a a b b 即a b a b 所以B C AD a b 故填 因为D E分别A B A C的中点 所以D E B C 又已知C F A B 故四边形B C F D是平行四边形 所以C F B D AD 而C F AD 连接A F 所以四边形AD C F是平行四边形 故 C D A F 第二十三章 几何证明选讲 借马分马 四 那么 锡克先生 借马 给三兄弟又是怎么回事呢 这是因为 如果将 匹马按遗嘱中的比数去分 只能分 掉 匹中的 匹 三兄弟分得的马匹数正好是 还有 匹没有分掉 恰好是锡克先生的一匹 数学家锡克在分马中利用 一借一还 的 方法使得难以执行的遗嘱绝处逢生 正是数学解题方法的妙用 因为C F A B 所以B C A F 故C D B C 第 题 因为F G B C 故G B C F 由 可知B D C F 所以G B B D 而 D G B E F C D B C 故 B C D G B D 连接O D 因为B D D C O为A B的中点 所以O D A C 于是 O D B C 因为O B O D 所以 O D B B 于是 B C 因为点A E B D都在圆O上 且D E为圆O上位于A B 异侧的两点 所以 E和 B为同弧所对的圆周角 故 E B 所以 E C 由A C与 O 相切于点A 得 C A B AD B 第 题 同理 A C B D A B 所以 A C B D A B 从而A C AD A B B D 即A C B C AD A B 由AD与 O相切于点A 得 A E D B AD 又 AD E B D A 得 E AD A B D 从而A E A B AD B D 即A E B D AD A B 结合 的结论知A C A E 如图 连接A O 并延长分别交两圆于点E和点D 连接B D C E 第 题 因为圆O 与圆O 内切于点A 所以点O 在AD上 故AD A E分别为圆O 圆O 的直径 从而 A B D A C E 所以B D C E 于是A B A C AD A E r r r r 所以A B A C为定值 连接D E 根据题意 在 AD E和 A C B中 AD A B m n A E A C 即AD A C A E A B 又 AD E A C B 从而 AD E A C B 因此 AD E A C B 所以C B D E四点共圆 m n 时 方程x x m n 的两根为x x 故AD A B 如图 取C E的中点G D B的中点F 分别过点G F作A C A B的垂线 两垂线相交于点H 连