第二章推理与证明复习[1].ppt

基础知识梳理 不完全归纳 部分到整体 个别到一般 另一类对象 也具有这些特征 特殊到特殊 基础知识梳理 基础知识梳理 特殊情况 一般原理 一般到特殊 特殊情况 课堂互动讲练 例1 在数列 an 中 a1 1 an 1 2 a n 2 a n n N 猜想这个数列的通项公式 并说明理由 证明 1 如图 在平行四边形中 有那么 在平行六面体中 有 A B C D O O 1 4 图 1 图 2 例 本题满分12分 用三段论证明函数y x2 2x在 1 上是增函数 证明 任取x1 x2 1 且x10 因为x1 x2 1 所以x2 x1 2 0 因此 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 10分于是根据 三段论 得f x x2 2x在 1 上是增函数 12分 大前提 增函数的定义 小前提 结论 证明函数f x x2 2x在 1 是增函数 函数f x x2 2x在 1 是增函数 大前提 在某个区间 a b 内若 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 小前提 结论 1 直接证明 1 综合法 定义 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的 最后推导出所要证明的结论 这种证明方法叫综合法 基础知识梳理 推理证明 成立 框图表示 二 证明方法 2 分析法 定义 从出发 逐步寻求使它成立的直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明的方法叫做分析法 要证明的结论 充分条件 2 间接证明反证法 假设原命题 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫反证法 基础知识梳理 不成立 矛盾 一 综合法 证 证明 要证只需证只需证只需证只需证因为成立 所以成立 二 分析法 分析命题中有 至少 不都 都不 没有 至多 等指示性语句 在用直接方法很难证明时 可以采用反证法 三 反证法 例 已知a 0 b 0 且a b 2 求证 中至少有一个小于2 证明假设都不小于2 则 因为a 0 b 0 所以1 b 2a 1 a 2b 所以1 1 a b 2 a b 即2 a b 这与已知a b 2矛盾 故假设不成立 即中至少有一个小于2 练 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取第一个值n0 n0 N 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k N 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 基础知识梳理 三 数学归纳法 上述证明方法叫做数学归纳法 用框图表示就是 基础知识梳理 例 用数学归纳法证明 证明 1 当n 1时 左边 右边 等式成立 2 假设n k k N 时 成立 左边 n k 1时 等式成立 综上可得 对于任意n N 等式都成立 右边 当n k 1时 题型二用数学归纳法证明不等式 例 求证 n 2 n N 分析和正整数有关 因此可用数学归纳法证明 证明 1 当n 2时 左边 不等式成立 2 假设当n k k 2 k N 时不等式成立 即成立 则当n k 1时 所以当n k 1时不等式也成立 由 1 2 可知原不等式对一切n 2 n N 都成立 题型三 练 已知数列 计算数列和S1 S2 S3 S4 根据计算结果 猜想Sn的表达式 并用数学归纳法进行证明 证明 1 当n 1时 左边 S1 右边 猜想成立 解析 猜想 2 假设当n k k N 时猜想成立 即 则当n k 1时 所以 当n k 1时 猜想成立 根据 1 2 知猜想对任意n N 都成立 例2 分析 这是一个存在型探索性问题 对n赋值后 比较几对a与b的大小 可作出合理猜测 再用数学归纳法予以论证 解 下页 猜想 证明 1 3 4 四 数系的扩充与复数的引入 1 复数的有关概念 1 形如的数叫做复数 其中和都是实数 其中叫做复数z的实部 叫做复数z的虚部 对于复数a bi a b R 当且仅当时 它是实数 当b 0时 叫做虚数 当时 叫做纯虚数 2 复数的相等如果a b c d都是实数 那么 a bi c di a bi 0 a bi a b b a b 0 a 0且b 0 a 0且b 0 a c且b d 2 复平面的概念建立来表示复数的平面叫做复平面 x轴叫做 y轴叫做 实轴上的点都表示 除外 虚轴上的点都表示 各象限内的点都表示 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是的 复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是的 直角坐标系 实轴 虚轴 实数 原点 纯虚数 虚数 一一对应 一一对应 3 共轭复数概念当两个复数的实部 虚部时 这两个复数叫做互为共轭复数 复数z的共轭复数用表示 即z a bi 则 a b R 相等 互为相反数 a bi 4 复数的加法与减法 1 复数的加减法运算法则 a bi c di 2 复数加法的运算定律复数的加法满足 即对任何z1 z2 z3 C 有z1 z2 z2 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 a c b d i 交换律 结合律 3 复数加 减法的几何意义 复数加法的几何意义若复数z1 z2对应的向量不共线 则复数z1 z2是以为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数 复数减法的几何意义复数z1 z2是连结向量的终点 并指向被减数的向量所对应的复数 5 复数的乘法与除法设z1 a bi z2 c di 1 复数的乘法运算法则z1z2 a bi c di 交换律z1 z2 结合律 z1 z2 z3 分配律z1 z2 z3 z2 z1 z1 z2 z3 z1z2 z1z3 ac bd bc ad i 2 复数的除法运算法则 a bi c di c di 0 例1 已知复数z m2 1 i m 3 i 6i 则当m为何实数时 复数z是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 4 零 5 对应点在第三象限 分析复数z a bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值 解 z m2 3m m2 m 6 i m m 3 m 2 m 3 i 1 当m 2或m 3时 z为实数 2 当m 2且m 3时 z为虚数 3 当m 0时 z为纯虚数 4 当m 3时 z 0 5 由m m 3 0 且 m 2 m 3 0 解得0 m 3 当m 0 3 时 z对应的点在第三象限