12.1全等三角形.1全等三角形.doc

12.1全等三角形1.掌握好全等形及全等三角形的定义.2.理解对应顶点、对应边、对应角的含义.3.掌握全等三角形的性质.1.教学时结合实际图片或学生自己动手制作的图片,使学生更加容易接受本节的知识,也能从中体会到数学的乐趣及数学与生活实际的联系.2.通过对一个图形的平移、翻折、旋转等动态变换,使学生的思维更具动态,形成空间观念,对以后的图形观察与总结具有更好的指引作用.1.在全等形的引入中,通过一些实际生活的图片,让学生感受到数学来源于生活实际,又反作用于生活实际.2.在学习中,同学之间以及小组之间相互研讨,可促进学生的团队意识,以及认识合作的价值.【重点】掌握好全等三角形的定义及利用全等三角形的性质解决问题.【难点】全等三角形性质的应用.【教师准备】全等的三角形纸板.【学生准备】剪刀、三角形纸板.导入一:(老师手拿两个全等的三角形纸板,可先分开操作,然后把两个三角形进行重合操作,目的是让学生看出这两个三角形是能够完全重合在一起的)【师】同学们,你能发现这两个三角形有什么关系吗?【生】这两个三角形是完全重合的. 【师】这就是我们今天要学习的全等形中的一种,全等三角形.(同时教师手写板书)设计意图本节的内容,对于学生来说还是比较容易接受的,所以此设计比较简捷,单刀直入,可以节省时间,直入主题.导入二:【师】同学们,这节课我们先做个游戏,把你们准备好的剪刀与三角形纸板拿出来,先取一张纸,将准备好的三角形纸板按在纸上,画下图形,照图形裁下来,观察一下,有什么特点?同桌之间互相配合完成,再一起讨论得到的三角形与原三角形之间的关系.设计意图同桌之间通过互相帮助,动手探索,既能增强他们的合作意识、团队精神,又能在动手操作中感受到数学的乐趣,增强对全等三角形的认知与理解.导入三:(老师拿出一块硬纸板)同学们请看,每组的两个图形有什么特点?它们的形状、大小一样吗?它们能互相重合吗?设计意图这两个问题和实际生活的联系比较密切,引起了学生认知的需要,激发了学生的求知欲,使之在思维情境中进入最佳的学习状态.这就为学生认识和探索全等三角形的性质做了铺垫.一、全等三角形的相关概念过渡语刚才同学们都看到了,两个三角形可以在形状、大小方面完全相同,放在一起能够完全重合,在实际生活中,你还能举出类似的例子吗?1.全等形的概念思路一【师生活动一】多找一些学生举例子.(此过程中,有些学生举的例子是不正确的,如有的学生可能会说“双胞胎”,可先让学生说说此例子是否正确,让学生们一起讨论,然后老师给出正确的指引及错误的原因,对学生的不同回答,只要合理,就给予认可)设计意图帮助学生准确地理解定义,以及感受数学知识的严谨性.【师生活动二】(1)上面同学们举的这些例子,有什么共同的特征?(2)有人用“全等形”一词描述上面的图形,你认为这个词是什么含义?同学们畅所欲言,最后老师给出全等形及全等三角形的定义,为了加深理解,可通过列举反例强调定义的条件.全等形的定义:能够完全重合的两个图形叫做全等形.全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.思路二【学生活动一】把一块三角形样板按在纸板上,画下图形,照图形裁下来.【问题思考】裁下来的纸板和样板的形状、大小完全一样吗?把样板和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗?用同一张底片冲洗出来的两张照片上的图形,放在一起也能够完全重合吗? 【学生回答后总结】能够完全重合的两个图形叫做全等形.设计意图从学生熟悉的图形和例子引出全等形的概念,可以排除学生对几何的畏惧心理,增强他们的自信心,在教学过程中要强调“重合”的重要性,使全等形的概念的引入显得更加自然.【学生活动二】观察黑板上的两个三角形DEF和ABC.【思考】如果把DEF放到ABC上,两个三角形可以重合吗?可以重合的三角形称为什么?【生答】全等三角形.设计意图通过这个活动及时巩固全等形的概念,同时也为后面的内容做铺垫,起承上启下的作用.拓展延伸两个三角形全等指的是两个三角形的形状和大小完全相同,和位置无关.2.全等三角形的相关定义过渡语实际生活中,全等形是非常多的,在初中阶段,我们重点研究全等三角形,你能构造一对全等三角形吗?你是如何构造的呢?看下面的例子.【师生活动一】老师演示以下三种情况:(1)将ABC沿直线BC平移得到DEF;(2)将ABC沿BC翻折180得到DBC;(3)将ABC绕点A旋转180得到AED.【议一议】各图中的两个三角形全等吗?它们能完全重合,我们就说它们是全等三角形,其中能重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.如上图中的甲,ABC与DEF全等,我们就记作ABCDEF,符号“”读作“全等于”,当两个三角形全等时,我们就用它来表示.其中点A与点D,点B与点E,点C与点F是对应顶点;AB与DE,BC与EF,AC与DF是对应边;A和D,B和E,C和F是对应角.同学们,能不能对上述的图乙,图丙,分别说出它们的记法、读法,以及其中的对应顶点、对应边、对应角.当学生回答两个三角形全等的书写时,教师注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上.【师生活动二】【师】由上述的演示可以看出,一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形全等,这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.在上述三种变换中,怎么能快速地找到对应顶点、对应边、对应角呢?请同学们讨论.设计意图学生进行讨论,各抒己见,此过程中学生说的不一定对,在互相的讨论、交流中,学生慢慢地纠正自己的错误,接受别人的好的方法,这样能更加深入地了解与掌握找全等三角形的对应点、对应边、对应角的方法.【师最后总结】在全等三角形中,找出对应角和对应边,关键是先找出对应顶点,然后按对应顶点的字母顺序记两个三角形全等,再按顺序写出对应边和对应角.全等三角形的面积一定相等,但是面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.知识拓展找对应元素的常用方法有两种:(一)从运动角度看1.翻转法:找到中心线,沿中心线翻折后能相互重合,从而发现对应元素.2.旋转法:三角形绕某一点旋转一定角度后能与另一三角形重合,从而发现对应元素.3.平移法:沿某一方向平移使两三角形重合来找对应元素.(二)根据元素位置来推理1.全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边是对应边.2.全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角.3.公共边一定是对应边,公共角一定是对应角,对顶角一定是对应角.4.全等三角形中一对最短的边(或最小的角)是对应边(或对应角).二、全等三角形的性质过渡语我们现在已经知道了什么是全等三角形,并且能找到两个全等三角形的对应顶点、对应角、对应边,那么这些对应边与对应角又有什么关系呢?同学们拿出我们刚才自己制作的两个全等三角形,动手比较,看能得出什么结论?学生们纷纷发言,在此过程中,老师引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系,得到全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等.知识拓展(1)全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等;(2)全等三角形的周长相等,面积相等;(3)平移、翻折、旋转前后的图形全等.三、例题讲解过渡语通过刚才同学们的探究,我们已经初步掌握了全等图形及全等三角形的性质,这样我们就可以根据图形找到全等三角形的对应边、对应角和对应顶点了.如图所示,OCAOBD,C和B,A和D是对应顶点. (1)OCAOBD说明这两个三角形可以重合,那么通过怎样的变换可以使这两个三角形重合?(2)说出这两个三角形中相等的边和角.解:(1)将OCA翻折可以使OCA与OBD重合.(2)C=B,A=D,AOC=DOB;AC=DB,OA=OD,OC=OB.如图所示,已知ABEACD,ADE=AED,B=C,指出其他的对应边和对应角. 解析对应边和对应角只能从两个三角形中找,所以需将ABE和ACD从复杂的图形中分离出来.根据元素位置来找,有相等元素,它们就是对应元素,再依据已知的对应元素找出其余的对应元素.解:对应角为BAE和CAD.对应边为AB与AC,AE与AD,BE与CD.1.能够完全重合的图形叫做全等形.能够完全重合的三角形叫做全等三角形.重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.全等三角形的对应边相等,对应角相等.2.找全等三角形对应元素的方法,注意挖掘图形中隐含的条件,如公共元素、对顶角等.3.在运用全等三角形的定义和性质时应注意规范书写格式.1.如图所示,ABCDEF,则此图中相等的线段有() A.1对B.2对C.3对D.4对解析:因为ABCDEF,所以AB=DE,AC=DF,BC=EF,因为BC=EF,即BE+EC=CF+EC,所以BE=CF,即有4对相等的线段.故选D.2.如图所示,ACBACB,ACB=30,ACB=110,则ACA的度数是() A.20B.30C.35D.40解析:ACBACB,ACB=ACB,ACB-ACB=ACB-ACB,即ACA=BCB,ACB=30,ACB=110,ACA=(110-30)=40.故选D.3.如图所示,找出由七巧板拼成的图案中的全等三角形. 解:三角形1和三角形2,三角形6和三角形7.4.如图所示,已知ABCADE,试找出对应边、对应角. 解析:方法1:可以发现A是公共角,在两个三角形中A的对边分别是BC和DE,所以BC和DE是一组对应边.而AB与AE显然不重合,所以AB与AD是一组对应边,剩下的AC与AE自然是一组对应边了.再根据对应边所对的角是对应角可得B与D是对应角,ACB与AED是对应角.所以对应边为AB与AD,AC与AE,BC与DE.对应角为A与A,B与D,ACB与AED.方法2:沿A与BC和DE的交点O的连线将ABC翻折180后,它正好和ADE重合,这时就可以找到对应边为AB与AD,AC与AE,BC与DE.对应角为A与A,B与D,ACB与AED.解:对应边为AB与AD,AC与AE,BC与DE.对应角为A与A,B与D,ACB与AED.12.1全等三角形一、全等三角形的相关概念二、全等三角形的性质例1例2一、教材作业【必做题】教材第32页练习第1,2题.【选做题】教材第33页习题12.1第3,4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.下列各组图形中是全等图形的是()2.下列各组图形中,是全等形的是()A.对应钝角相等的两个等腰三角形B.两个含60角的直角三角形C.边长为3和5的两个等腰三角形D.腰对应相等的两个直角三角形3.如图所示,ABCBAD,点A和点B,点C和点D是对应顶点,如果AB=6 cm,BD=5 cm,AD=4 cm,那么AC的长是() A.6 cmB.5 cmC.4 cmD.无法确定4.如图所示,RtABCRtDEF,则D的度数为() A.30B.45C.60D.90【能力提升】5.如图所示,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,ABCBAD.求证: (1)OA=OB;(2)OCD=ODC.6.如图所示,ABCAEC,B和E是对应顶点,B=30,ACB=85,求AEC各内角的度数. 【拓展探究】7.如图所示,已知ABDACE,且点E在BD上,CE交AB于点F,若CAB=20,求DEF的度数. 【答案与解析】1.B(解析:根据全等图形的定义可得.)2.D3.B(解析:ABCBAD,点A与点B,点C与点D是对应顶点,AC=BD,又BD=5 cm(已知),AC=5 cm.故选B.)4.A(解析:RtABCRtDEF,D=A.在RtABC中,A+B=90,且B=60,A=30,D=30.故选A.)5.证明:(1)ABCBAD,CAB=DBA,OA=OB.(2)ABCBAD,AC=BD,又OA=OB,AC-OA=BD-OB,即OC=OD,OCD=ODC.6.解:ABCAEC,ACE=ACB,EAC=BAC,E=B,又B=30,ACB=85,E=30,ACE=85,EAC=65.7.解析:根据全等三角形的性质求出C=B,再根据三角形内角和定理和对顶角相等求出BEF=CAB=20,代入DEF=180-BEF即可求出DEF.解:ABDACE,C=B,BFE=CFA,CAF=180-C-CFA,BEF=180-B-BFE,CAB=20,BEF=CAB=20,DEF=180-BEF=180-20=160.本节内容与图形是紧密相连的,图形也是学生非常喜欢的,所以本节课的引入,重点以图形为主,既让学生感受到学数学的乐趣,又引发了学生学习本节课的信心,并且对学生更加热爱生活、找到数学与生活实际的联系起到了非常重要的作用.本节课的另外一个特点是图形的平移、翻折与旋转,要求学生具有空间想象能力,这既是数学的美,也是一些学生感到吃力的地方,为了突破难点,在教学设计上,引入了几何画板,进行动态演示,让学生能在非常生动、精彩的课件中找到自信,另外,也为他们日后的学习起到了重要的铺垫作用.本节课中,全等形、全等三角形的定义都是比较浅显的,学生们非常容易接受,本节的难点是全等三角形的书写及找出对应边、对应角,在突破难点上,讲解没有达到非常生动.让学生在非常欢乐的气氛中达到难点突破是我们的教学目标.为了能突破难点,在设计上可先让学生拿着自己制作好的两个全等三角形进行平移、翻折与旋转,观察前后的变化,同时写出每次变换后的对应边、对应角,可同桌之间互相考察,也可一名学生指派另一名学生答题,然后老师再用几何画板进行动态演示,把实际操作逐步变为头脑中的印象,最后达到不用任何辅助手段就能在头脑中达到上述目的.练习(教材第32页)1.解:图(2)中,AB和DB,BC和BC,AC和DC是对应边;A和D,ABC和DBC,ACB和DCB是对应角.图(3)中,AB和AD,BC和DE,AC和AE是对应边;BAC和DAE,B和D,C和E是对应角.2.解:相等的边:AC=DB,OA=OD,OC=OB;相等的角:A=D,C=B,AOC=DOB.习题12.1(教材第33页)1.解:AC和CA是对应边;B和D,BAC和DCA,BCA和DAC是对应角.2.解:其他对应边:AN和AM,BN和CM,其他对应角:ANB和AMC,BAN和CAM.3.解:三角形内角和为180,a所对的角为180-60-54=66,又两个三角形全等,1=66.4.解:(1)其他对应边:EF和NM,FG和MH,EG和NH;其他对应角:E和N,FGE和MHN.(2)因为EFGNMH,所以NM=EF=2.1 cm,EG=NH=3.3 cm,所以HG=EG-EH=3.3-1.1=2.2(cm),所以线段NM的长度是2.1 cm,线段HG的长度是2.2 cm.5.解:ACD和BCE相等.因为ABCDEC,所以ACB=DCE.又因为ACB=ACE+BCE,DCE=ACD+ACE,所以ACD=BCE.6.解:(1)对应边:AE和AD,AC和AB,EC和DB;对应角:A和A,AEC和ADB,ACE和ABD.(2)因为AECADB,所以ACE=ABD.又因为1=2,所以ACE+2=ABD+1,即ACB=ABC,所以ABC=(180-A)=65,所以1=ABC-ABD=65-39=26.如图所示,EFGNHM,在EFG中,FG是最长的边,在NHM中,MH是最长的边,F和NHM是对应角,且EF=2.4 cm,FH=1.9 cm,HM=3.5 cm. (1)写出对应相等的边及对应相等的角;(2)求线段GN及线段HG的长度.解析(1)由于EFGNHM,根据两个三角