高中数学教学论文 高考中数列和不等式证明的交叉.pdf

高考中数列和不等式证明的交叉 高考中数列和不等式证明的交叉 数列和不等式是高考的两大热点也是难点 数列是高中数学中一个重要的内容 在高等数 学也有很重要的地位 不等式是高中数学培养学生思维能力的一个突出的内容 它可以体现数学 思维中的很多方法 当两者结合在一起的时候 问题会变得非常的灵活 所以在复习时 我们在 分别复习好两类知识的同时 一定要注意它们的相互渗透和交叉 培养灵活的思维能力 数列和证明不等式的交叉 是这两大块知识的主要交叉点 它在数列的特殊情景下 巧妙的 融合了不等式的证明 它所涉及的问题往往是灵活的应用了数列和不等式的知识 把这两者完美 的结合在了一起 例 1 例 1 设 和 分别是等差数列和等比数列 且 n a n b0 11 ba 0 22 ba 若 试比较和的大小 21 aa nn ba 分析 分析 这两个通项大小的比较 它们的未知量比较多 比容易直接完成 因通过它们的项数n把 他们组合在一起 设 n a的公差为 的公比为q d n b 显然 因为0 q0 22 ba 所以有 qada 11 即 dqa 1 1 1 111 1 11 111 nn nn qaqnaaqadnaba 又 因 为 所 以 21 aa 1 1 2 a a q 若时 1 q 1 1 1 1 1 1 n q q qaba n nn 111 22 1 nqqqqa n nn ba 10 因为 所以有 若 11 12 nqqq n 01 q q q时 1 1 1 nqn 01 2 q q 所以也有 nn ba 综上所述 当nN 时且n a2 nn b 在证明过程 对等比数列求和公式的逆 用 是本题证明的一个转折点 它避免了一些不必要的分类讨论 时问题得以简化 例 2例 2 已知递增的等比数列 n a前三项之积为512 且这三项分别减去1 3 9后成等差数列 求证 1 321 321 aaa n a n 分析 分析 要想证明这个不等式 首先要求出左边的和式 根据题意 n a是等比数列 所以左边 的 和 式 可 以 利 用 错 位 相 减 法 来 求 和 先 确 定 这 个 等 比 数 列 由可 得 2 231 aaa 用心 爱心 专心 1 512 3 2321 aaaa 所以8 2 a 再设等比数列 n a的公比为 则根据条件可得 q 382981 8 q q 解得 或2 q 2 1 q 舍去 所以 因此 令 2 4 1 q a 1 2 n n a n S n a n aaa 321 321 1 n 4 2 3 3 22 2 n 2 2 1 则 n S 2 1 254 22 3 2 2 n n 3 2 1 由 得 用心 爱心 专心 2 n S 2 1 2143 22 1 2 1 2 1 nn n 2 2 1 即 n S 132 22 1 2 1 2 1 2 1 nn n 22 1 1 nn n 1 1 例 3 例 3 在某两个正数x y之间 若插入一个数a 使x a y成等差数列 若另插入两个数b 使cx b 成等比数列 求证 cy 1 1 c1 2 ab 分析 分析 不等式左边有字母 右边有不同字母b c 要比较两边的大小 必须寻找 b c三 者之间的联系 利用数列的关系可得 aa 2 xy a 3 2 yxb c 3 2 xy 为计算方便 我 们 再 令0 3 xm 0 3 yn 则 2 33 mn a 那 么 nm2cb 2 mn 111 2 cba 111 2 2 2 33 mn nm2 m n 0 nmnm nm 22 2 33 2 得 111 2 cba n an 1 例 4 例 4 设 且 求证 对一切自然数n 都有0 n a 1 2 nnn aaa 分析 分析 因为 所以 1 2 nnn aaa nnnnn aaaaa 1 2 1 由已知 所以有 即 0 n a 1 nn aa 001 n a 又因为 nnn aaa 1 1 则有 nnnnn aaaaa 1 11 1 11 1 所以1 1 111 1 nnn aaa 在上式中取121 n n 得个不等式 把它们相加得 1 n 11 1 n aan 1 于是 nn a n an 11 1 1 1 1 因此 n an 1 在此题的证明过程中 我们巧妙的利用了数列 求和的累加法 时问题的解决有一种全新的感觉 本题由于和自然数有关 也可以利用数学归纳 法来证明 例 5 例 5 设 给定数列2 a n x 其中 且满足ax 1 12 2 1 n n n x x x 求证 且2 n x1 1 n n x x 分析 分析 这是 1984 年的高考题 当时难倒了绝大部分的学生 大家觉得无从着手 它给定的是数 列 求证的是不等式 而且都是和通项有关 所以我们可以考虑求出数列的通项再来观察 因 为 n n n n n nn n n n x x x x x x xx x x x 2 1 1 2 2 1 1 2 22 2 1 1 12 244 2 又 因 为 所以有 ax 1 1 n 2 22 n n a a x x 则 1 2 2 1 2 n n a a x 而 则有 2 a 1 2 0 a a 所以1 2 10 1 2 n a a 那么1 因此 2且 2 1 2 10 2 1 2 nn a a a a n x1 1 n n x x 例 6 例 6 求证 13 1 2 12 6 5 4 3 2 1 n n n 分析 分析 这是一道不等式的证明题 若我们总是在不等式的圈子里转悠 问题不能圆满的解决 跳 出这个圈子 我们不难发现这是一个自然数有关的命题 那么 解决它的方法不外乎两种 一是 利 用 数 学 归 纳 法 二 是 构 造 数 列 我 们 来 构 造 一 个 数 列 令 n a n a13 2 12 6 5 4 3 2 1 n n n 则 4312 1322 2 2 2 1 nn nn a a n n 1 4192812 4202812 23 23 nnn nnn 所以 从而有 因 此原不等式得证 nn aa 1 1 121 aaaa nnn 用心 爱心 专心 3 例 7 例 7 设 是正项的等比数列 是其前n项的和 证明 n a n S 1 2 2 n nn Slg SlgSlg 分析 分析 这是在数列情景下的不等式证明 所以要交叉使用数列的性质和不等式的证明技巧 要证 不等式等价于 因为 所以 2 12 nnn SSS0 n a0 1 nn SS 由等比数列的定义可得 1 21 2 3 1 2 n n n n a a a a a a a a 再用等比定理得 nn nn SS SS 1 12 n n n n n n n n S S S aS aaa aaa a a 111 21 132 1 2 因此有 2 12 nnn SSS 例 8 例 8 数列 和 都是正项数列 对任意的自然数都有 成等差数列 成等比数列 n a n b n a 2 n b 1 n a 2 n b 1 n a 2 1 n b 1 问 是不是等差数列 为什么 n b 2 求证 对任意的自然数p和 qqp 22 qpqp bb 2 2 p b 分析 分析 对于第 1 题 我们不难证明它一定是等差数列 问题 2 的证明方法很多 我们可以直接 利用等差数列的通项公式 通过作差比较来完成 但是若我们仔细分析题意 观察 的特点 我们不难发现它们三者之间有等量关系 2 qp b 2 qp b 2 p b pqpqp bbb2 所以 22 qpqp bb 2 2 2 2 p qpqp b bb 此题充分体现了数列和不等 式知识的交叉运用 例 9 例 9 数列 中 前项之和为 其中和为常数 且 n anbnanSn 2 ab0 a1 ba Nn 1 求数列的通项公式 并证明 n a n a1 1 nn aa 2 若 试判断数列 中任意两项的大小 1 n n an alogc n c 分析 分析 此题的已知条件 前项之和为 告诉我们 数列是一个等差数列 nbnanSn 2 n a 用心 爱心 专心 4 要证明成立 只要证明该数列是一个递增的数列 且即可 1 由 可知 1 1 nn aa bnan 2 1 1 a Sn 1 11 baSa baanSSa nnn 2 1 n a 用心 爱心 专心 5 所以 即数列02 1 aanan是一个单调递增的数列 那么a 1 1 a 1 n an 1 2 11 n n a n n a n n alog alog c c 2 由 1 可知 数列 n c n n aa aloglog 1 n n a 2 1 各项都为正 则 2 2nn a 2 2 1 2 4 1 n a alog 1 n a 2 1 2 n an loga n a log 2 2 n a 1 4 1 n n a a log 2 2 1 1 n n a a n a 1 4 1 log 所以 nn cc 1 例 10 例 10 已知数列 中 对一切自然数 都有n 10 an 且 0 2 1 nnn aaa2 1 n a nn aa 2 1 1 求证 1 2 若表示数列 n S n a的前项之和 则n 1 2aSn 分析 分析 从题目的结构可以看出 条件是解决问题的关键 必须从中找 出和 的关系 1 由已知 可得 02 1 2 1 nnnn aaaa 02 1 2 1 nnnn aaaa 1 n a n a 2 1 1 1 2 n a n n a a 又因为 所以有 因此 即 0 n 1 a1 1 2 nn aa10 2 1 n a nn a a 2 1 1 2 由结论 1 可