华理高数答案第8章.doc

.第8章（之1）第37次作业教学内容：8.2.1无穷级数的基本概念 8.2.2收敛级数的基本性质1 选择题：*（1）若级数的部分和，其一般项是 （ ）（A）； （B）； （C）； （D）答：( D )*（2）设级数收敛，其和为，则级数收敛于 （ ）（A）； （B）； （C）； （D）答：（ B ）*（3）若级数收敛，其和，则下述结论成立的是 （ ）（A）收敛；（B）收敛；（C）收敛；（D）收敛答：（ C ）*（4）指出下列命题中之正确者为 （ ）（A）若，则收敛； （B）若，则收敛；（C）若收敛，则； （D）若发散，则答：（ C ）*2若，则级数之和为_ 答：*3设单调减少，且收敛于0，问级数是否收敛？答：不一定收敛。例如都单调减少而收敛于0，但发散， 而级数收敛4利用定义判断下列级数的敛散性，若收敛则求其和：*（1）；解：级数的部分和 所以，故级数为发散*（2） 解：级数的一般项 级数部分和 所以，此即级数收敛，且其和为5判断下列级数的敛散性：*（1）；解：，因故，所以发散*（2）；解：记，由于，故发散*（3）解：发散*6求级数之和解：已知又，可得的部分和从而， 因此原级数收敛，且 第8章（之2）第38次作业教学内容：8.2.3正项级数的性质及其敛散性的判敛法1 选择题：*（1）下列级数中，发散的是 （ ）（A）； （B）； （C）； （D）答：（ B ）*（2）下列级数中，收敛的是 （ ）（A）；（B）；（C）；（D）答：（ D ）*（3）下列级数中，发散的是 （ ）（A）；（B）；（C）；（D）答：（ D ）2. 判断下列级数的敛散性：*（1）；解：由于 ， 而 发散，所以 发散*（2）；解：由于 ，故由比值判断法知 收敛*（3）解：，由根值判断法知级数收敛*（4）；解：由比值判别法可见当时，级数收敛；当时，级数发散*（5）；解：记，则,而收敛，因此收敛*（6）；解一：, 而收敛,故原级数收敛解二：,由于，故而级数收敛*（7）；解：记，则 ，而发散，故所论级数发散 *（8）；解：由于，而收敛， 所以原级数也收敛*（9）；解：，而发散， 故级数也发散*（10）；解：所以又发散, 故发散*3利用级数理论，证明时，是比高阶的无穷小证明：先判断级数的敛散性，由于 ,所以，级数收敛，于是有,上式又可变为 ,故当时，是比高阶的无穷小*4将方程的正根按递增次序排列，得数列，试证明级数收敛， 而级数却发散证明：设， ， 则 在上严格单调， 又因 ， 则在内有且仅有一个实根 又因 为上的一个根， 所以最小正根在上， 从而必有 ， 所以 ，而收敛，故收敛。 又 ，而 发散，故 发散*5若数列为单增有界的正项数列，试证明级数收敛证明：首先我们知道级数收敛， 事实上，级数的部分和为， 所以以上结论显然成立。 设的界为，即任何有， 由于 故有收敛第8章（之3）第39次作业教学内容： 8.2.4任意项级数的绝对收敛和条件收敛 8.2.5交错级数 8.3.1函数项级数的一般概念1 选择题：*（1）若级数收敛，则 （ ）（A）收敛；（B）收敛；（C）收敛；（D）收敛答：（ A ）*（2）当级数收敛时，级数 （ ）（A）必绝对收敛； （B）必发散；（C）部分和序列有界； （D）可能收敛也可能发散答：（ D ）*（3）若级数和都发散，则下列级数中必发散的是 （ ）（A）； （B）；（C） ； （D）答：（D）*（4）设为常数，则级数 （ ）（A）绝对收敛； （B）条件收敛；（C）发散； （D）敛散性与取值有关答：（ C ）2. 判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散？*（1）；解：记 则 故原级数绝对收敛 *（2） ；解：记 ，因为 ，且 ，所以原级数收敛 由于 ，故 发散，因此原级数条件收敛 *（3）；解：设 ， 时， 而当时，为单调递减数列，且， 故级数收敛 另一方面 ，而发散。综合以上讨论知，级数 条件收敛*（4）；解：记， 则 ，当时，即单调递减故当时，数列单调递减。且，所以级数收敛。显见此级数不绝对收敛，故级数条件收敛。3*（1）若是收敛的正项级数，试证 一定收敛。证明：因为 为收敛的正项级数， 则 ， 所以，当 时，有 ， 则 ， 从而由比较判别法知 收敛。*（2）若级数收敛，一定收敛吗？解：不一定。反例收敛，但发散。*（3）若级数收敛，一定收敛吗？解：不一定。反例收敛(莱布尼兹型级数)，但 发散。*（4）设都是收敛的正项级数，试证明级数必收敛。证明：由于， 且 都是收敛的正项级数， 从而收敛， 故级数必收敛。*4设级数收敛，证明绝对收敛。证明：由假设，有,于是 , 而 收敛，因此 绝对收敛。*5求函数项级数 的收敛域.解: 级数可写成,这是一个的级数, 其收敛的充要条件是,即,这就是给定函数项级数的收敛域.第8章（之4）第40次作业教学内容：8.3.2幂级数及其收敛域 8.3.3幂级数的性质 8.3.4幂级数的求和1填空题：*（1）如果，则幂级数在开区间 内收敛。答： *（2）设幂级数的收敛半径是4，则幂级数的收敛半径是 。答：2 *（3）设幂级数在收敛区间上的和函数为，则幂级数 的收敛区间是_，它在收敛区间上的和函数是 _。解：由条件，以代，得 ，两边从0到积分，得即 。*2设已知属于幂级数 的收敛区域，问以及是否一定属于收敛域?试解释之。解：由于属于幂级数的收敛域，由此知道收敛半径不小于，而收敛域至少包含有区间，而，故可判定属于收敛域，而却不一定。3求下列幂级数的收敛域：*（1）；解：由，得，当时， 原级数为 ，由 ，得其发散，故原幂级数的收敛域为*（2）试求幂级数的收敛域。解：由于 , 所以R=，收敛域是*（3）解：，当 即 时，级数收敛；当 即 及时， 级数发散，收敛半径为1，即在收敛。当时，原级数为收敛，当时，原级数为收敛，所以该幂级数的收敛域为 *4求函数项级数的收敛域解：，则由，得 。当时，原级数为收敛。故收敛域为*5设数项级数条件收敛，试证明幂级数的收敛半径。证明：以代入，收敛，知收敛半径。若级数收敛半径，则由阿贝尔定理知必有 在点 处绝对收敛，即必绝对收敛。得到矛盾。 *6设，试求的幂级数，并指出收敛域。解：幂级数的收敛域是 当时，有 ， 又因为当时，收敛，所以 ， *7设分别是下列三个幂级数在实轴上的和函数，即 试证明在整个实轴上有。证明：显然的定义域为，且， ，。记 ，则 在上为一常数 由可知 ， 8求下列幂级数在收敛域内的和函数，并求对应数项级数的和：*（1）， ；解：考虑由 ，两边求导，得 ，令，得 ，*（2），解：由上题，两边求导，令，代入上式得 ，第8章（之6）第41次作业教学内容：8.4.1泰勒级数 8.4.2几个初等函数的麦克劳林展开式*1.如果在点的某个邻域内任意阶可导，那么幂级数 的和函数为 ( ) (A) 必是， (B)不一定是， (C)不是， (D)可能处处不存在。 答：（B） *2、试求的麦克劳林级数至含的项。解：由于 所以 ，故麦克劳林级数为： *3设的收敛半径为1，试将展开为 的幂级数解：因为 , 所以 当时，有）（） 第8章（之6）第42次作业教学内容：8.4.3函数展开为幂级数举例 间接展开法 8.4.4函数幂级数展开式的应用*1. 若 ，试证:为偶函数时必有.解：，（函数的任意阶导数都为零）2展开下列函数在指定基点处的幂级数：*（1）；解：因为 , 而 所以 *（2）；解： 且 , *（3）。解：， 由于 ，*（4）；解：*（5）；解： *（6）；解： *（7），解： ， ，当时, 级数成为 是莱布尼兹型收敛级数，*（8）， 解：因为 ,