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文档简介
18.2.3 正方形【知识与技能】了解正方形的性质及其判定方法,能利用正方形的性质及判定解决实际问题.【过程与方法】在利用正方形的定义探索正方形的性质及其判定方法过程中,进一步增强学生的逻辑推理能力,锻炼分析问题、解决问题的能力.【情感态度】在探索正方形性质与判定方法过程中,获取成功的体验,增强学习数学的兴趣.【教学重点】正方形的性质及其判定方法.【教学难点】运用正方形解决问题.一、情境导入,初步认识如图(1),平移矩形的一边,使得到的矩形有一组邻边相等,此时它是一个正方形;如图(2),移动菱形的木框,使得它的一个内角为90,这时所得到的菱形是正方形.通过上述过程可以发现,正方形既是菱形又是矩形.你能说说正方形有哪些性质吗?二、思考探究,获取新知正方形即是矩形又是菱形,因而它既具有矩形的性质,又具有菱形的性质,因此正方形的性质有:正方形的四个角都是直角;正方形的四条边都相等;正方形的对角线相等,并且互相垂直平分;正方形是轴对称图形,它有四条对称轴,分别是对边中点连线和对角线所在直线.问题 正方形既是矩形,又是菱形,因而判别一个四边形是否是正方形,就必须证明它既是矩形,又是菱形.想想看,怎样判定一个四边形是正方形呢?与同伴交流一下,并说出你的理由.【教学说明】让学生相互交流,写出判定一个四边形是正方形的方法,并探讨论证方法.教师巡视,听取他们的想法,并适时参与讨论,从而让学生感受证明一个四边形是正方形的方法.三、典例精析,掌握新知例1 求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知:如图,正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.求证:ABO,BCO,CDO,DAO是全等的等腰直角三角形.证明:四边形ABCD是正方形.AC=BD,ACBD,OA=OB=OC=OD,ABO,BCO,CDO,DAO都是等腰直角三角形,并且ABOBCOCDODAO.例2 如图:点E,F,M,N分别是正方形ABCD四条边上的点,且AE=BF=CM=DN.求证:四边形EFMN是正方形.证明:四边形ABCD是正方形,A=B=C=D,AB=BC=CD=DA.AE=BF=CM=DN,AN=BE=CF=DM,AENBFECMFDNM.EN=EF=MF=MN,1=2.又2+3=90,1+3=90,ENM=90,四边形EFMN是正方形.【教学说明】以上两例均可由学生自主探究,相互交流,最后师生共同讨论,加深学生对知识的领悟.四、运用新知,深化理解1.(1)把一个长方形纸片如图那样折一下,就可以裁出一个正方形纸片,为什么?(2)如果是一个长方形木板,如何从中裁出一个最大的正方形木板呢?2.满足下列条件的四边形是不是正方形,为什么?(1)对角线互相垂直且相等的平行四边形;(2)对角线互相垂直的矩形;(3)对角线相等的菱形;(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形;(5)一组邻边相等的矩形.3.如图,以正方形ABCD的顶点D为顶点在正方形内作等边DEF,使E、F分别在AB、BC上.求证:BEFBFE.【教学说明】学生独立探究,加深对正方形判定方法的理解和掌握.教师巡视指导,及时予以点拨.【答案】1.解:(1)由折叠可知:B=D90,DAB90,四边形ABCD是矩形.又AB=AD,四边形ABCD是正方形.(2)在长方形木块较长的一边上截取一段等于较短边长的一条边,即可得到最大的正方形木板.2.满足(1)(2)(3)(4)(5)条件的四边形均是正方形.3.证明:在正方形ABCD,正DEF中,ADDC,A=C90,DEDF,RtDAERtDCF,ADE=CDF.又ADC=90,EDF60,ADECDF15,AED=CFD=75.而DEF=DFE=60,
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