高等数学系列经典学习资料3.1导数的概念1.pdf

华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq 1 1 第三章第三章第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq 2 2 x y o xfy C 1 1 模型 曲线的切线斜率模型 曲线的切线斜率模型 曲线的切线斜率模型 曲线的切线斜率 曲线曲线 xfyC N T 0 x M 在在 M 点处的切线点处的切线 x 割线割线 M N 的极限位置的极限位置 M T 当时当时 割线割线 M N 的斜率的斜率 tan 0 xfxf 0 xx 切线切线 MT 的斜率的斜率 tan k tanlim lim 0 xx k 0 xfxf 0 xx 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq 3 3 两个问题的共性两个问题的共性两个问题的共性两个问题的共性 s o 0 t 0 tf tf t瞬时速度瞬时速度 lim 0 tt v 0 tftf 0 tt 切线斜率切线斜率 x y o xfy C N T 0 x M x lim 0 xx k 0 xfxf 0 xx 所求量所求量 函数增量与自变量增量之比的极限函数增量与自变量增量之比的极限 类似问题还有类似问题还有 加速度 线密度 电流强度 加速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 是速度增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题变化率问题 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq 4 4 一 导数的定义一 导数的定义一 导数的定义一 导数的定义 定义定义 设函数设函数 xfy 在点在点 0 x 0 lim xx 0 0 xx xfxf x y x 0 lim 0 xfxfy 0 xxx 存在存在 xf并称此极限为并称此极限为 xfy 记作记作 0 xx y 0 x f d d 0 xx x y 0d d xx x xf 即即 0 xx y 0 x f x y x 0 lim x xfxxf x lim 00 0h xfhxf h lim 00 0 则称函数 若 的某邻域内有定义 则称函数 若 的某邻域内有定义 在点在点 0 x处处可导可导 在点在点 0 x的的导数导数 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq 5 5 运动质点的位置函数运动质点的位置函数 tfs 在 时刻的瞬时速度在 时刻的瞬时速度 0 t lim 0 tt v 0 tftf 0 tt 曲线曲线 xfyC 在在 M 点处的切线斜率点处的切线斜率 lim 0 xx k 0 xfxf 0 xx 0 t f 0 x f 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq 6 6 0 lim xx 0 0 xx xfxf x y x 0 lim 0 xfxfy 0 xxx 若上述极限不存在若上述极限不存在 在在点不可导点不可导 0 x 若若 lim 0 x y x 也称也称 xf在在 0 x 若函数在若函数在开区间开区间 I 内每点都可导内每点都可导 此时导数值构成的新函数称为此时导数值构成的新函数称为导函数导函数 记作记作 y x f d d x y d d x xf 注意注意 0 x f 0 xx xf x xf d d 0 就说函数 就称函数 就说函数 就称函数在在 I 内可导内可导 的的导数为无穷大导数为无穷大 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq 7 7 例例例例1 1 证明函数证明函数证明函数证明函数xxf 在在 x 0 不可导不可导 证证 h fhf 0 0 h h 0 h 1 0 x f曲线过上升曲线过上升 若若 0 0 x f曲线过下降曲线过下降 x y o 0 x 00 yx 若若 0 0 x f切线与切线与 x 轴平行轴平行 称为驻点称为驻点 00 yx 00 yx 0 x 若若 0 x f切线与切线与 x 轴垂直轴垂直 曲线在点处的曲线在点处的 00 yx 切线方程切线方程 000 xxxfyy 法线方程法线方程 1 0 0 0 xx xf yy 0 0 x f x y o 0 x 0 时 x f 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq1717 1 1 1 1 例例例例7 7 问曲线问曲线问曲线问曲线 3 xy 哪一点有垂直切线哪一点有垂直切线 哪一点处 的切线与直线 哪一点处 的切线与直线1 3 1 xy平行平行 写出其切线方程写出其切线方程 解解 3 xy 3 2 3 1 x 1 3 1 32 x 0 x y 0 x 令令 3 11 3 1 32 x 得得 1 x对应对应 1 y 则在点则在点 1 1 1 1 处与直线处与直线1 3 1 xy 平行的切线方程分别为平行的切线方程分别为 1 1 3 1 xy 1 1 3 1 xy 即即023 yx 故在原点故在原点 0 0 有垂直切线有垂直切线 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq1818 注注注注 函数 在某点 处的导数函数 在某点 处的导数 xf 0 x 0 xf x f 区别区别 x f 是函数是函数 0 x f 是数值是数值 联系联系 0 xx xf 0 x f 注意注意 有什么区别与联